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反证法与逆否命题一样吗?
1.定义理解
(1)反证法:就是通过沦证与原命题相矛盾的命题为假,从而肯定原命题是正确的证明方法.
不少数学命题的证明,当使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时,若能恰当使用反证法,往往有较好的效果.反证法在证题开始时是否定“pq”这个命题本身,真正的步骤是“pq”习惯上只写“q”.然后由“pq”得到“pp”、 “qq”、与公理、定理等矛盾且必须强调这一矛盾,才能肯定原命题成立.反证法证明的基本步骤可以简单地概括为“否定—推理一反驳一肯定”四个步骤.即所证命题的真假与运用反证法否定后的真假是相反的.
(2)逆否命题:是原命题结论的否定作为条件,原命题条件的否定作为结论而得到的一新命题,其真假与原命题的真假一致.因此,当使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时,也可以考虑证其逆否命题.用逆否证法证明命题“pq”时,开始的步骤是否定命题的结论,即“q”;在否定结论得到“q”后,直接推出“p”就可以了,在书写形式上不要写“与p矛盾”之类的话.用逆否命题证明的基本步骤可以简单地概括为“否定结论—推理—否定条件”三个步骤.即原命题的真假与逆否命题的真假是一致的.
2.区别与联系 (1)联系:
①依据相同:都是利用命题的等价性; ②起步相同:都是从“q”出发;
③思想相同:都是“正难则反”思想的体现。 (2)区别: ①目的不同:反证法否定结论的目的是推出矛盾,而逆否证法否定结论的目的是推出“p”; ②本质不同:反证法是把否定的结论作为新条件连同原有条件进行逻辑推理,逆否法实质是证明一个新命题成立;
由上述可以看出,反证法不是证明原命题的逆否命题.虽然它们的证明过程非常相似,但逆否证法和反证法各自的逻辑等价式不同,在具体运用证题时的方式也不同.下面举例说明.
3.举例
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题目:已知adbc1,求证:abcdabcd1.
证法1 反证法
假设abcdabcd1, 又adbc1,
由此,得abcdabcdadbc, 从而有(ab)(bc)(cd)(ad)0,
于是abcd0,
因此,adbc1,这与已知条件矛盾,故原命题得证.
注 运用反证法即否定结论,然后从否定出发,运用条件推出矛盾.矛盾可以是与条件矛盾、与否定矛盾、与已知定理、公理矛盾等.反证法开始时的步骤是“pq”,否
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定结论的同时又肯定条件,因此证明的过程中可以用已知条件.
证法2 逆否命题法
设abcdabcd1,则
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2a22b22c22d22ab2bc2cd2ad2ad2bc2,
即(ab)2(bc)2(cd)2(ad)22ad2bc2, 若(ab)2(bc)2(cd)2(ad)20, 则abcd0, 于是adbc1;
若(ab)2(bc)2(cd)2(ad)20,
则(ab)2(bc)2(cd)2(ad)2为正数,所以必有adbc1,
即adbc1, 从而原命题得证.
注 逆否证法证明的是“qp”,证明开始时仅否定结论,没有肯定条件,因此在证明过程中不用已知条件.
由上可知,反证法不是证原命题的逆否命题,两者不一样,不能将两种方法混淆.
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