高中数学全等与相似及其应用专题辅导

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中学数学全等和相像及其应用

楼可飞

两个图形之间的特别关系，有全等和相像两种。下面我们来看它们的一些应用。 一、图形的全等 例1. 如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AB、BC上的点，P是棱DD1的中点。求M、N在什么位置时，PB⊥面MNB1，并证明之。





图1

剖析：当M、N分别是棱AB、BC的中点时，PB⊥面MNB1 连接AC、DB，那么AC⊥DB

又PD⊥AC，由三垂线定理得AC⊥PB

在正方形ABCD中，由MN∥AC，得MN⊥PB

取C1C中点E，连接PE，那么PE⊥面BCC1B1 在正方形BCC1B1中，RtB1BNRtBCE

那么∠BB1N∠CBE，而∠BB1N∠BNB190 故∠CBE∠BNB190 即B1N⊥BE

由三垂线定理得：PB⊥B1N 从而PB⊥面MNB1。

文华点精：这里用到了平面几何中两个三角形全等的性质。图1中的B1N⊥BE是正

方形BCC1B1中的一般结论。



二、图形的相像

例2. 如图2，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABa，AA1bba，

AM⊥A1B，并交B1B于点M。求点B到面AMC的距离。





图2

剖析：易证BD1⊥面AMC，设垂足为H，那么


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BH就是点B到面AMC的距离 连接BD交AC于点O

在D1DB中，DD1⊥DB，OH⊥BD1 得RtD1DB~RtOHB 那么，即 故

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