高中棱台棱锥OK

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三. 棱锥及相关概念

1．定义：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围 成的几何体叫做棱锥

2．相关概念：

（1）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，如侧面 SAB、SAE 等； （2）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，如顶点S、A、B、C 等； （3）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，如侧棱SA、SB等； （4）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面，如底面ABC、ABCDE等； （5）如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高，

3. 如何理解棱锥？

（1） 棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征： ①有一个面是多边形；

②其余各面是有一个公共顶 点的三角形，二者缺一不可。 （2）棱锥有一个面是多边形， 其余各面都是三角形，是棱锥? 4．棱锥的分类：

（1）按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面体! 三棱锥 四棱锥 五棱锥 （四面体）

（2）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置， 它的顶点又在过正多边形中

心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥!

5．正棱锥的性质：

（1）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形；

（2）等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高!

6．棱锥的表示：

（1）用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：如三棱锥P－ABC，四棱锥S－ABCD. （2）用对角面表示：如四棱锥可以用P－AC表示.

四．棱台及相关概念

1．定义：棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.

2．相关概念：

（1）棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面； （2）棱台的侧面：棱台中除上、下底面以外的面叫做棱台的侧面； （3）棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；

（4）棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高。

3．棱台的分类：

（1）按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等； （2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。



1




正四棱台

4．正棱台的性质： （1）各侧棱相等；

（2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形； （3）正棱台的斜高相等。

5．棱台的表示：

棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如可以记 作 棱 台ABCD－A’B’C’D’， 或 记 作 棱 台AC’.

棱柱、棱锥、棱台之间的关系

棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，

棱台则可以看成是用 一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形， 要注意的是棱台的各条侧棱延长后，将会交于一点，即棱台可以还原成棱锥. 【知识要点】

1．简单空间几何体的基本概念：

(1)

(2)特殊的四棱柱：





(3)其他空间几何体的基本概念： 几何体 正棱锥 正棱台 圆柱 圆锥 圆台 球面 球 几何体

基本概念

底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心

正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台 以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体

以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体

半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面 球面所围成的几何体

性质

补充说明

2．简单空间几何体的基本性质：

(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形

(1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等

对角面都是矩形

的多边形

(2)长方体一条对角线的平方等于一

(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是

个顶点上三条棱长的平方和

平行四边形

(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影



组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角

棱柱

正棱锥



2




形

(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截(1)过球心的截面叫球的大圆，不过球面 心的截面叫球的小圆

(2)球心到截面的距离d，球的半径R，截(2)在球面上，两点之间的最短距离，

就是经过这两点的大圆在这两点间22

面圆的半径r满足rRd

的一段劣弧的长度(两点的球面距离)

球

3．简单几何体的三视图与直观图： (1)平行投影：

①概念：如图，已知图形F，直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线MM1平行于l，交平面于点M1，则点M1叫做点M在平面内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F1，则F1叫图形F在内关于直线l的平行投影．平面叫投射面，直线l叫投射线．



②平行投影的性质：

性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； 性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图． (3)三视图：



①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影． ②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．

将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．

③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积：



3




(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：

①S直棱柱侧面积＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高． ②S正棱锥形面积③S正棱台侧面积

1

ch，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高． 21

，c分别是棱台的上、下底面周长，h＇为正棱台(cc)h，其中c＇

2

的斜高．

④S圆柱侧面积＝2Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高． ⑤S圆锥侧面积＝Rl，其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长． ⑥S球＝4R2，其中R是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积：

①V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高． ②V锥体③V台体的高． ④V球

1

Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 31

，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体h(SSSS)，其中S＇

3

43

πR，其中R是球的半径． 3

边长

正三角形

a

正方形 a

正六边形

a

长：2a；短：3a

2、正n(n＝3，4，6)边形中的相关数据：

对角线长 边心距 面积 外接圆半径

一、选择题

2a

3a 632a 43a 3

a 2

a2

3a 2332

a 2

a

2a 2

1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．



主视图 左视图 俯视图 (第1题)

A．棱台





B．棱锥





C．棱柱





D．正八面体

@2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1



4




的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．

A．2＋2



B．

1＋2

2

C．

2＋2

2

D．1＋2

3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A．3





B．23





C．33





D．43

@4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．

A．25π





B．50π





C．125π





D．都不对

@5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A．3∶1



B．3∶2



C．2∶3



D．3∶3

@6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．

A．

9π 2

B．

7π 2

C．

5π 2

D．

3π 2

@7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．

A．130

1．A

解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．

2．A

解析：原图形为一直角梯形，其面积S＝3．A

解析：因为四个面是全等的正三角形，则S表面＝4×4．B

解析：长方体的对角线是球的直径， l＝32＋42＋52＝52，2R＝52，R＝5．C

解析：正方体的对角线是外接球的直径．



B．140 C．150 D．160

1

(1＋2＋1)×2＝2＋2． 2

3

＝3． 4

52

，S＝4πR2＝50π． 2

5




6．D

31

解析：V＝V大－V小＝πr2(1＋1.5－1)＝π．

23

7．D

2

解析：设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而l12＝152－52，l2＝92－52， 2而l12＋l2＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面＝4×8×5＝160．

8．D

解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱， 313151

V＝2×××3×2＋×3×2×＝．

42223

9．B

解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．

10．D

解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.



2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（ ） ① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱

A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②

。



正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 甲 乙 丙

3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ） A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱 C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥

@5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A

21

倍 B 倍 C 2倍 D 2倍

42



@1、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A

1214

B 24

6






14



2

@2、已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6，则它的体积是( )

C

D

A 955 B 955 C 355 D 355

@3、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（ ）

A 2 B 2.5 C 5 D 10

@4、若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ）

A 3：2 B 2：1 C 4：3 D 5：3

D1 C1



@5、如图，在棱长为4的正方体 A1

P B1

ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点， 且PB1＝

A

12

1

A1B1，则多面体P-BCC1B1 4

D

A

B

C

的体积为（ ）

816 B C 4 D 16 33

@6、两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）

A 1：2：3 B 1：7：19 C 3：4：5 D 1：9：27

（１） @1、若三球的表面积之比为1：2：3，则其体积之比为（ ） A 1:2:3 B 1:2:3 C 1:22:23 D 1:4:7

@2、已知长方体一个顶点上三条棱分别是3、4、5，且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A 202 B 252 C 50 D 200

@3、木星的体积约是地球体积的24030倍，则它的表面积约是地60球表面积的（ ）

A 60倍 B 6030倍



7




C 120倍 D 12030倍

@４、一个四面体的所有棱长为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A 3 B 4 C 33 D 6

@6、半球内有一内接正方体，，则这个半球的表面积与正方体的表面积的比为（ ）

55

B 612C D 以上答案都不对

2

A

@2、中心角为1350，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B等于（ ）

A 11：8 B 3：8 C 8：4 D 13：8

@3、设正方体的表面积为24，一个球内切于该正方体，则这个球的体积为（ ）

3284 C  D  333

@4、若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm，若将这些

A

6 B

水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，且恰好装满，则水面高度是（ ） A 63cm B 6cm C 2318cm D 3312cm @6、已知正方体外接球的体积是A 22 B

32

，则正方体的棱长为（ ） 3

234243

C D 333

5.关于直观图画法的说法中，不正确的是

A.原图中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x轴，且其长度不变 B.原图中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y轴，且其长度不变 C.画与xoy对应的坐标系xoy时，xoy可等于135 D.作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同。

6.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③矩形的直观图是矩形；④.菱形的直观图是菱形。以上结论正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D ①②③④

8. 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为2,3,6,则这个长方体的对角线长为 A．23 B.32 C.6 D.6 12.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画 法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的 A.2倍 B. 题号



'''

'''



221倍 C.倍 D.倍 422

3

4

5

6 8

7

8

9

10

11

12

1 2




答案 D A D C B A D D C D D 1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16

2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

B



(A)9

(B)10

(C)11

(D)12



二、填空题二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）. 13.已知一个圆锥，过高的中点且平行于底面的截面的面积是4，则其底面半径是

4



22

14.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别是36cm、64cm，

则这两个平行平面间的距离是 2cm或14cm .

15.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积等于 22.

16.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为. 10 . ．．

9.在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．



.





8．74 9、2 10．B 11．②④

8、半径为15cm，圆心角为2160的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是———————————

10、棱长为a，各面均为等边三角形的四面体（正四面体）的表面积为——————————体积为—————————

12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．



9




15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．

16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．

11．参考答案：5，4，3．

解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台． 12．参考答案：1∶22∶33．

r1∶r2∶r3＝1∶2∶3，r13∶r23∶r33＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33． 1

13．参考答案：a3．

6

解析：画出正方体，平面AB1D1与对角线A1C的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O－AB1D1的高h＝

333111a，V＝Sh＝××2a2×a＝a3． 343633

另法：三棱锥O－AB1D1也可以看成三棱锥A－OB1D1，它的高为AO，等腰三角形OB1D1

为底面．

14．参考答案：平行四边形或线段． 15．参考答案：6，6．

解析：设ab＝2，bc＝3，ac＝6，则V = abc＝6，c＝3，a＝2，b＝1， l＝3＋2＋1＝6． 16．参考答案：12． 解析：V＝Sh＝πr2h＝

4

πR3，R＝364×27＝12． 3

5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点，则EF的长等于______．



6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝1，则三棱锥D－ABC的体积是______．



10




7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为______．

6．一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为____________.

7．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为____________.

8．14．下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是____________.

① ④ ⑥ ① ④ ① ②

（） （⑤2）（ ②（ 4） 3）⑥ ⑤⑥ ③ 1⑤ ⑥

④ ③ ③ ① ④

9．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直

③ ② ② ⑤ 平行六面体}，则这几个集合的关系是____________.



11、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，由A 到C1在长方体表面上的最短距离为多少？ D1 C1

A1 B1

D C

A B



11、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋化了，会

溢出杯子吗？（半球半径等于圆锥底面半径）



4cm



12cm



12、有三个球和一个边长为１的正方体，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。

11、一个三棱柱的三视图如图所示，试求此三棱柱的表面积和体积。

23



2





11




A1

12、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

A 用截面截下一个棱锥C-A1DD1，求棱锥

C-A1DD1的体积与剩余部分的体积比。



D1

B1

D

B

C1

C



13.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长____．

40

12．略 13．3cm



例1.有四个命题：① 各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；② 底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③ 棱锥的所有侧面可能都是直角三角形；④ 四棱锥的四个侧面中可能四个都是直角三角形。其中正确的命题有 . ③ ④

例2. 已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2 ，计算它的高和斜高。

11





210



2．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）

（A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥

D

3．过正方体三个顶点的截面截得一个正三棱锥，若正方体棱长为 a，则截得的正三棱锥

的高为 。



12




3a3



4．正四面体棱长为 a，M，N为其两条相对棱的中点，则MN的长是 。

2a2





10．如图，在圆锥SO中，其母线长为2，底面半径为

1

，一只虫子从底面圆周上一点A2

出发沿圆锥表面爬行一周后又回到A点，则这只虫子所爬过的最短路程是多少？







例1 如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b．



(Ⅰ)证明：PA⊥BC；

(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积．

【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据



13




正三棱锥的基本性质进行求解．

证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD． ∵P－ABC是正三棱锥，

∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形． ∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD， ∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．

(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，PD∴SPBC

PB2BD2

1

4b2a2, 2

1aBCPD4b2a2. 24

3a

4b2a2. 4

∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形， ∴三棱锥P－ABC的侧面积是

3a2

∴△ABC是边长为a的正三角形，∴三棱锥P－ABC的底面积是,

43a23a3a

4b2a2(a12b23a2) ∴三棱锥P－ABC的表面积为444

(Ⅲ)解：过点P作PO⊥平面ABC于点O，则点O是正△ABC的中心， ∴OD

113a3a

AD, 3326

在Rt△POD中，PO

PD2OD2

3

3b2a2, 3

13a23a222

3ba3b2a2. ∴三棱锥P－ABC的体积为43123

【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt

△POD，其中含有棱锥的高PO；如Rt△PBD，其中含有侧面三角形的高PD，即正棱锥的斜高；如果连接OC，则在Rt△POC中含有侧棱．熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助．

例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．



(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．

【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．

证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，



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∴BE⊥AA1．

∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，

∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．

(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．

∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点， ∴DE∥AB1． 又DE平面BEC1，AB1平面BEC1， ∴AB1∥平面BEC1．

例3 在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB2DC45．



(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； (Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．

【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．

证明：(Ⅰ)在△ABD中，

由于AD＝4，BD＝8，AB45，

所以AD2＋BD2＝AB2． 故AD⊥BD．

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD， 所以BD⊥平面PAD，

又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD． (Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，

由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD． 因此PO为四棱锥P－ABCD的高，

又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，

所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为梯形ABCD的高，

3

423. 2

4885

，即为

545



15




所以四边形ABCD的面积为S

254585

24.故

52

1

VPABCD2423163.

3

例4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)

(Ⅰ)画出该多面体的俯视图；

(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； (Ⅲ)在所给直观图中连结BC＇，证明：BC＇∥平面EFG．

【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原则及相关数据可以画出三视图．



证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：



(Ⅱ)所求多面体体积VV长方体V正三棱锥446(22)2(Ⅲ)证明：在长方体ABCD－A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'． 因为E，G分别为AA'，A'D'中点， 所以AD'∥EG，

从而EG∥BC '．又BC'平面EFG， 所以BC'∥平面EFG．

1312284

(cm2). 3



例6 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求三棱锥F－A1ED1的体积．



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【分析】计算三棱锥F－A1ED1的体积时，需要确定锥体的高，即点F到平面A1ED1

的距离，直接求解比较困难．利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如

VFA1ED1VA1EFD1，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解．

解法1：取AB中点G，连接FG，EG，A1G． ∵GF∥AD∥A1D1，∴GF∥平面A1ED1，

∴F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离． ∴VFA1ED1VGA1ED1VD1A1EG

1131SA1EGA1D1a2aa3. 3388



解法2：取CC1中点H，连接FA1，FD1，FH，

FC1，D1H，并记FC1∩D1H＝K．

∵A1D1∥EH， A1D1＝EH，∴A1，D1，H，E四点共面． ∵A1D1⊥平面C1CDD1，∴FC⊥A1D1．

又由平面几何知识可得FC1⊥D1H，∴FC⊥平面A1D1HE． ∴FK的长度是点F到平面A1D1HE(A1ED1)的距离． 容易求得FK

35115235a13

a,VFA1ED1SA1ED1FKaa. 10433108







9．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点．



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(Ⅰ)求证：BD1∥平面ACE；

(Ⅱ)求证：平面ACE⊥平面B1BDD1．

10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高

为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．



(Ⅰ)求该几何体的体积V； (Ⅱ)求该几何体的侧面积S．

11．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，

且AE＝FC1＝1．



(Ⅰ)求证：E，B，F，D1四点共面； (Ⅱ)若点G在BC上，BG

2

，点M在BB1上，GM⊥BF，求证：EM⊥面BCC1B1． 3



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