开题报告

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毕业论文（设计）开题报告

论文题目 学生姓名

xx

代数基本定理的证明和应用探究 系别 指导教师姓名

数学 Xx

专业

数学与 应用数学

学生学号

Xx

职称

Xx

所属 单位

数学系

班级

Xx

一、选题的目的和意义：

选题目的和意义： 首先让学生了解和掌握代数基本定理的一些证法；其次，通过对代数基本定理的证法探究来解决实际生活中的一些应用问题，达到学以致用的目的；同时，通过对比代数基本定理的各种证明思路和过程，从而反映出数学各分支间的相互渗透、相互融合之观点。

二、本课题的研究现状：

（代数学基本定理）任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。就实质来说，现在的各种证明方法，与其说是代数的，不如说是无穷小分析的，该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，可是他默认了数学分析中一条明显的引理——定义在有限闭区间上的连续函数一定在某一点取得最小值，这引理在达朗贝尔的研究100年以后才得到证明。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。拉格朗日于1772年又重新证明了代数基本定理，后经高斯分析，发现其证法中曾把实数的各种性质应用于尚未证明其存在性的根上，所以该证明仍然是很不严格的。代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)。高斯后来又给出了另外三个证法。在第二个证法中，不依靠几何的论据，但是却引用了一个当时未经证明的命题——设多项式.高斯在71岁高龄时还公布了第四个证法。在这个证法中他容许多项式的系数是复数。应该指出，在许多证法中，这条定理都不是在最一般的情况下证明的，都是假定了多项式中的文字系数表示实数，但整个定理却包括复系数的情况。随着复变函数论发展后，代数基本定理已经作为一些定理的推论，该定理在现今已经几近成熟。



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三、主要内容和预期目标： 主要内容：

（1）归纳总结代数基本定理的四种证法。 1、利用复变函数知识证明代数基本定理； 2、利用拓扑学的方法证明代数基本定理； 3、利用纯代数化的方法证明代数基本定理； 4、柯西（cauchy）积分定理证明此定理；

（2）探讨代数基本定理的两种应用。

1、该定理在常系数齐次线性微分方程的求解中的应用；

2、此定理在特征值和线性变换以及微分方程组的稳定性方面的应用。

预期目标：通过对本课题的研究，旨在掌握一些常用的研究方法和措施，且培养锻炼理论联系实际的能力。通过对代数基本定理的证明和应用探究而产生对数学的学习和研究的兴趣，进一步培养数学发散性思维和提高数学素养，旨在探寻数学理论在解决实际问题中的应用，以便从多角度来思考和解决问题。

四、拟采用的研究方法和主要措施： 经验总结法、比较研究法、文献资料法；

上网收集并分析相关资料；图书馆查阅书籍与报刊；指导老师的辅导，同学的交流



五、主要参考文献：

[1]张静.基于实数分形的图案设计[J].信息技术与信息化，2010,(12). [2]惠红梅.分形——艺术之美[J].科技信息，2010,(9).

[3]李常.一种基于广义M—J集的安全底纹设计方法[J].计算机应用与软件，2011,(11).

[4]唐颖.分型在数字喷墨印花图案设计中的应用[J].纺织导报，2009,(6). [5]邰光玉.分形图案在艺术设计中的应用[J].艺术与设计，2009,(1).

[6]金以文,鲁世杰.分形几何原理及其应用[M].杭州：浙江大学出版社，1998,(11). [7]王兴元.一个非解析复映射的广义Mandelbrot 集[J].大连理工大学学报，2009,(1).

[8] 王高雄，常微分方程，高等教育出版社( 第三版），北京，2007 年4 月. [9] 北京大学数学系编，高等代数， 高等教育出版社（第三版），北京，1978年6月.

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六、指导教师意见：





指导教师签名：

年 月 日

七、指导小组意见：

组长签名：

年 月 日

注：此表由学生填写。开题报告会结束后，由指导教师和小组签署意见。论文答辩前，学生将此表交指导教师。此表按要求装订在论文文本内。

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