2016年北京大学数学学科夏令营初赛试题

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2016 年北京大学数学学科夏令营初赛试题

本试卷共 4 题，每题 30 分，满分 120 分，考试时间 180 分钟．



1、已知锐角△ABC 中，∠B=60，P 为 AB 中点，Q 为外接圆上弧 AC(不包含点 B)的中点，H 为△ABC 的垂心．如果 P,H,Q 三点共线，求∠A．

0



2、求所有的整系数多项式 P(x)，使得存在一个无穷项整数数列{an}，其中任意两项互不相等，且满足：P(a1)=0，P(ak+1)=ak (k=1,2,⋯)．



3、给定正整数 n，有 2n 张纸牌叠成一堆，从上到下依次编号为 1 到 2n．我们进行这样的操作：每次将所有从上往下数偶数位置的牌抽出来，保持顺序放在牌堆下方．例如 n=3 时， 初始顺序为 123456，操作后依次得到 135246，154326，142536，123456． 证明：对任意正整数 n，操作不超过 2n−2 次后，这堆牌的顺序会变回初始状态．



4、给定正整数 p,q，数列{an}满足：a1=a2=1，an+2=pan+1+qan (n=1,2,3⋯)．求证：要使得对任意正整数 m,n，均有(am,an)=a(m,n)，当且仅当 p=1 时成立．





2016 年北京大学数学学科夏令营初赛试题

参考答案

1、答案 75． 解 如图，设 O 为外接圆圆心，延长 CO 交外接圆于 D，则四边形 BHAD 为平行四边形，因此 D,P,H 三点共线，进而 D,P,H,Q 四点共线．

0



连接 OH,BQ，由∠B=60，于是 BH=AD=CD/2=OQ,

又 OB=OQ，因此 BHQO 为菱形，从而

∠OBC=∠OCB=∠BAD=∠HBA,

又

∠BCD=∠BQD=∠OBQ=∠HBQ,

因此 BO,BQ,BH 将∠CBA 四等分，进而不难得知∠A=75． 2、答案 P(x)=x+C，其中 C∈Z．

0

0


解 设

P(x)=λ0+λ1x+⋯+λmx,

其中 m∈N∗，λi∈Z (i=0,1,2,⋯,m)，则

P(ak+1)−P(ak+2)=ak−ak+1,k=1,2,⋯,

而

P(ak+1)−P(ak+2)=λ1(ak+1−ak+2)+λ2(a

因此

(ak+1−ak+2)∣(ak−ak+1),k=1,2,⋯,

因此

∣a1−a2∣⩾∣a2−a3∣⩾∣⋯⋯⩾|ak−ak+1|⩾|ak+1−ak+2|⩾⋯.

由于∣a1−a2∣的值有限，因此必然存在 K，使得当 k⩾K 且 k∈Z 时，有 ∣ak−ak+1∣=∣ak+1−ak+2∣=∣ak+2−ak+3∣=⋯.

由于数列{an}中任意两项互不相等，因此有

ak−ak+1=ak+1−ak+2=ak+2−ak+3=⋯,

因此有

2

m

−a )+⋯+λm(a −a ), k+1 k+2 k+1 k+2

2mm



P(ak+1)−ak+1=P(ak+2)−ak+2=⋯.



若 m⩾2，则方程



P(x)−x=P(aK+1)−aK+1

有无数个解，矛盾．这样得到了所有符合题意的整系数多项式 P(x)=x+C，其中常数 C∈Z



3、证明 我们证明一个等价的命题，将每次操作改为先从上往下取后一半的数出来，然后与前一半交叉放置(类似于洗扑克牌)，如初始顺序为 123456，操作后依次得到142536，154326，135246，123456．将纸牌按顺时针摆放，使得第一张牌和最后一张牌(它们始终为 1 和 2n)重合，将第一张牌的位置记为 1，顺时针旋转将其他牌的位置依次记为2,3,⋯,2n-1．定义纸牌 m 顺时针旋转到纸牌 n 时旋转的步数为纸牌 m 到 n 的距离，记为d(m→n)，如图中 d(2→3)=3．





下面证明经过 k 次操作(k∈N∗)后

d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n),

用数学归纳法．

归纳基础 当 k=1 时，有



d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=1,

命题成立．

归纳假设与递推证明 设当 k=p 时，有

d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=q. 不难计算得经过操作后位置 x 的纸牌将会移动到位置

f(x)=(2x−1)%(2n−1),

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