球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导



湖北仙桃二中 刘四云

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是

R

，半径分别为r1、r2、r3、…rn n

由相交弦定理得

r12 =

1RR2

·(2R—) = R2(—2) ,

nnnn

222R2R222r2 = ·(2R—) = R(—2) ,，

nnnn

2

223R3R223

r3 = ·(2R—) = R(—2)，

nnnn

2

…………………

n2nRnR2n2

rn = ·(2R— ) = R ·（ — 2）

nnnn

2

R32R32222 R323321

∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnnnnnnnn

R3n22n+兀·（ — 2）

nnn

R32222n22n122223

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—2）

nnnnnnnnnR3123n122232n2

=兀·（2×—） 2

nnn


R31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 n6n2

=兀R3 〔

2n1n1〕 n11

—·n62

n =兀R3

·4n23n1

6n

2

=兀R3 ·（

23+12n1

6n

2） 当n趋近于∞时，

12n = 0，1

6n2 = 0所以VR3（

2

半球 = 兀3

+ 0 + 0 ） =

2

3

兀R3 V球体体积 =

4

3

兀R3。 ，

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