余弦定理及推导

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1.1. 2余弦定理

余弦定理定义及公式

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股 定理在一般三角形情形下的推广。

a2 =b2 +c2-2bccosA

余弦定理证明



如上图所示，A ABC,在c上做高，根据射影定理，可得到:

C = 4COS(#) + 0COS(a)

将等式同乘以C得到：

c2 = “ccos(0) + bccos(a)

运用同样的方式可以得到：

a2 = wccos(0)十 dbcos(y) b2 = bccos(a) + abcos(^) 将两式相加： a2 +b2 = flccos(/?) + a/rcos(y)+ bccos(a) +a^cos(y)

a2 +b2 = [ac cos (/?) + be cos (a)] + [abcos(y) + abcos(y)] a2 +b2 = c2 十 2«bcos(y) c2 = a2 + b2 -2abcos(卩)

向量证明

1/21/21/2




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AABC中，AB=C> BC = a> AC = b^

|BC| = BC-BC

I时二(At_ 屈)・(At_Afe)

2 AB-AC |BC|2 = |AC|2 + |AB|2-

222|B£| =|AC| + |AB|- 2 /ih| |AC|COSA

a2 =b2 + c2 - 2bccosA

正弦定理和余弦定理 正弦定理

2

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

(1) 已知三角形的两角与一边，解三角形

(2) 已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

(3) 运用a： b： c=sinA： sinB： sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理

是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹 角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其 它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

2 / 22 / 22 /2

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