圆周率的推算

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圆周率的推算



“三剑楼随笔”专栏 金 庸

梁羽生兄在《数学与逻辑》一文中，曾谈到祖冲之的圆周率，说是全世界最早的精密计算。这在数学史上是一个有趣的问题。

圆周与直径的比例怎样，这在实用上是常遇到的，我国最早的数学书是《周髀算经》（注：现存《周髀算经》为东汉末年或是魏晋之间的赵君卿所注，原作者与成书年代均不详。它是相当古老的书籍，别看书名有一“算”字，整本书又充斥着数学，其实是册古代天文书，且自古就被列入《算经十书》中。《算经十书》包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《数术记遗》），其中称“周三径一”，即圆周率（注：圆周率就是圆周长与直径的比）是三。据传说，这是周初的商高计算出来的。如果传说不错，那么这是公元前十二世纪的事。 希腊人说，圆周率的应用是始于公元前三世纪的大物理学家阿基米德，就是那位因洗澡而发现阿基米德定律的人。希腊人称圆周率为“阿基米德值”。 我国著名桥梁专家、设计建造钱塘江大桥的茅以升先生在《圆周率略史》中说：“西洋数学多以为此率源于印度，而声息相通之阿拉伯亦认为是印度所产。” 到底，粗疏的圆周率是哪一民族的人最先发现的？我想，三与一之比的周率，随便用尺与绳子一量就量得出来。在实用上需用的时候，许多民族都会一量而依照这比率计算。所以，到底谁最早发现，那是很难说的。至于精密的计算，则是较后的事。

我们说祖冲之最先计算出精密的圆周率，是根据《隋书·律历志》中的记载。那上面说：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差冪（注：字同“幂”，读音均同“密”字音），开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”（注：此段记载乃是重新取自《隋书·律历志》原书中的相关记载。） 这一段话稍日说明，就极易清楚：

我国历史上首先用数学方法推算圆周率的，是汉代的大学者刘歆（公元二三年为王莽所杀），他的圆周率是3.1547。张衡（公元七八年，到公元一三九年，东汉时代人），是我国著名的天文学家，他的圆周率是731/232（注：原值不知所云，可能是非原版的问题。这里修正后的数值约为3.1466）。刘徽（生于公元二五零年左右，公元二六三年著有进行注释后的《九章算术注》），他用割圆术来推算，即圆内画一六边形，逐渐增加边数，这多边形与圆会越来越接近，计算多边形的边，算到九十六边形时，圆周率定为3.14163（注：此处原值为3.14，不知原文是多少，但这里能给出的位数越多，就越能帮助判断；另有说，其九十六边形的周长为3.141024）。王蕃（公元二一九到公元二五七年）是142/45＝3.155...，皮延宗（公元四五五年前后时人）的圆周率考查不出来。据李俨的《中国算学史》中说，在祖冲之之前，还有一位何承天（公元三○七到四四七年），圆周率为22/7，即3.1428。这些周率都不精密。

祖冲之（公元四二九至五○○年）是南北朝的刘宋时人，他算出的圆周率据《隋书》中说，是小于3.1415927而大于3.1415926，可定为3.14159265，精密的说，是355/113，约略的说，是22/7。西欧人算得这样精密的，是在一千多年以后（一五七三年）的德国奥托（Valentinus Otto），但他也只算到小数点后的六位。

祖冲之的儿子祖恒之，也是一位大数学家，他发现了计算圆球体面积与体积的公式。因


为他们的推理方法在那时是太精妙了，管理文化教育事宜的官吏根本不懂，于是“废之不理”。 在各文化古国中，我国的数学是不算十分发达的。我国数学一直限制于实用，与实用无关的比较抽象的推理几乎都不去接触。最突出的贡献，恐怕是这圆周率了。我在初中读书时，教我数学的是章克标先生。他因写小说而出名，为人很是滑稽，同学们经常和他玩闹而不大听他讲书。他曾写过一部《数学的故事》，其中说到有一个欧洲青年花了极长的时间，把圆周率推算到小数点后六百多位。这个圆周率，当然是毫无实用价值的。

在写小说《书剑恩仇录》时，为了要多知道一些陈家洛的身世，我曾翻过一些关于他祖宗海宁陈氏的记载，发现有一位与他父亲陈世倌同辈的陈世仁（1676-1722）。这位先生是康熙时翰林，竟是一位数学大家，著有《少广补遗》一卷，对于“级数”颇有研究，发现了许多据说是前人从来没有谈过的公式。书中一直研究到奇数偶数平方立方的级数和等问题。 清远附言：本文网上初查，并未发现其他可供参考对照的版本。与原文不太相同的是，有些括号（有“注”字的例外，那是我加入的注释）中的内容，是由我补充或是一并将之换成了公元多少年等字样的。

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