单摆周期原理及公式推导

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矢于单摆的回复力

① 在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂 直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示

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② 因为F唾直于v，所以，我们可将重力G分解到速度v的方向及垂 直于 I

v 的方向.且 G i=G sinO 二 mgpinOG2二 GCos 0 = mgpos 0

③ 说明：正是沿运动方向的合力 G二mg?in 0提供了摆球摆动的回 复力. 单摆做简谐运动的条件

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① 推导：在摆角很小时，sin 0二X

'i x

又回复力F二m®n 0

F= mg・一（

I

表示摆球偏离平衡位置的位移， 1表示单摆的摆长） ② 在摆角0很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相

反，大小成正比，单摆做简谐运动

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③ 简谐运动的图象是正弦（或余弦曲线），那么在摆角很小的情况下，既 然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线

单摆周期公式推导 设摆线与垂直线的夹角为 0,在正下方处时0=0,逆时针方向为正，反之为

负。

则摆的角速度为0（角度0对时间t的一次导数），角加速度为0”（角度0对时 间t的二次导数）。对摆进行力学分析， 由牛顿第二运动定律，有 （m）*（l）* 0”=・ mg*sin 0 即 0* +（ g/l ）*sin 0 = 0 令 3= （g/l）

1/2

，有

0”+ （ 3 广sin 0 = 0

2

当0很小时，sin 0・0 （这就是考虑单摆运动时通常强调 ’微”摆

的原因）

0” ( 32)* 0 〜。 该方程的解为 0 = A*si n( 3+ 0)

这是个正弦函数，其周期为

T = 2n3 = 2n* */g)

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