证明等边三角形的方法

2023-03-24 17:07:24 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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证明等边三角形的方法

证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用.

例1 如图1，已知等腰△ABC，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至E，CE=CD，BD=CE. 求证：△ABC是等边三角形.

分析：根据已知△ABC是等腰三角形，要证明其为等边三角形，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以只要证明其中的一个内角为30°即可.

证明：∵CE=CE，∴∠CDE=∠CED， ∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEB，

∵∠DCB=∠CDE+∠CED=2∠E=2∠DBC，图1

又BD⊥AC，∴∠DCB+∠DCB=90°，∴3∠DBC=90°，∠DBC=30°， ∴∠DCB=60°， ∴△ABC为等边三角形.

例2 如图2，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.

分析：根据△ABC是等边三角形可得∠A=∠B=∠C=60°，根据DE//BC可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三角形来证明.

证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE//BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，图2

∴∠A=∠ADE=∠AED=60°， ∴△ADE是等边三角形.

例3 如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得

到一个新的三角形△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？请证明你的结论.

分析：要判断△DEF是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断D、F、E三个角是否都相等.由△ABC是等边三角形，DF//AB可以得到∠BAC=∠ACF=60°，∠ABC=∠BCD=60°，同样的方法可以得到∠FAC=∠EAB=60°，∠ABE=∠DBC=60°，这样可得∠E=∠D=∠F=60°，从而可得△DEF是等边三角形，△ACF，△BCD，△EBA都是等边三角形.

解：△DEF是等边三角形.

证明：∵△ABC是等边三角形，图3 ∴∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°，

∵AB//DF，∴∠ACF=∠ BAC =60°，∠DCB=∠ABC=60°，

同样的方法根据AC//DE，BC//EF，可得到∠ABE=∠DBC=60°，∠BAE=∠CAF=60°， ∴∠E=∠F=∠D=60°， ∴△DEF是等边三角形.

根据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△AFC，△CDB，△BEA都是等边三角形.