平面直角坐标系内三角形坐标面积公式的推导及应用

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平面直角坐标系内三角形坐标面积公式的推导及应用

【摘要】本文在平面直角坐标系中论述寻求一种既能解决求定点三角形面积问题，又能解决求动点三角形面积问题的方法，并把这种方法以公式的方式固定下来，以提高学生解决实际问题的能力。



【关键词】坐标面积公式 定点 动点 逆向思维

初中阶段求三角形求面积的方法有很多，常见的有直接计算法与割补法.本文在此基础上总结出一种利用坐标计算三角形面积的方法，对涉及平面直角坐标系中面积问题的中考压轴题用这种方法计算能省时省力。



1.平面直角坐标系内三角形坐标面积公式的推导

〖TP16.TIF；%50%50，Y〗例1：如图，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC），求S△ABC.



解：过点A作EF∥x轴，分别过点B、C作y轴的平行线分别交直线EF于点E、F.



S△ABC如果把三角形ABC的三个顶点的坐标按逆时针排序如下：

〖XC17.TIF；%50%50〗

则公式S这个公式可以描述为：三角形三个顶点的坐标顺时针排序一周，则这个三角形的面积等于“大跨度积之和”与“小跨度积之和”之差除以2的相反数.



2.三角形坐标面积公式的应用

2.1 求定点三角形的面积。

例2：已知，三角形三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（6，-1）、C（4，5），求S△ABC.



解法一（逆时针排序一周）：

2.2 求动点三角形的面积。

〖TP21.TIF；%50%50，Y〗例3：如图，在直角坐标系中，直线AB与抛物线y=x2+x的交点A、B的坐标为A（-1，0）、B（1，2）.



（1）在抛物线上是否存在点Q （x，y），且-11），也可能是顺时针（-1< x<1）.




∴〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗 [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]=±2（三角形坐标面积公式）



[（-2+ y +0）-（0+2x-y）]=±2

y-x-1=±2

（x2+x）-x-1=±2

x2-1=±2

可得两个方程：x2=3，x2=-1（无解）.

综上所述，三角形的坐标面积用公式可为学生提供了解决定点简单问题和动点复杂问题的通法，对解决实际问题起到事半功倍的作用。

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