对比学习角平分线、线段的中垂线

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对比学习角平分线、线段的中垂线

一、定义

⑴角平分线就是从角的顶点出发把一个角分成两个相等角的射线. 说明:⑴一个角的平分线是一条射线,它在角的内部.

⑵一个角沿着它的平分线对折后,角平分线两旁的部分能够完全重合. ⑵线段的垂直平分线是垂直于这条线段并且平分这条线段的直线. 说明:线段的垂直平分线是一条直线. 二、性质定理

⑴角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

O

B F 1 2

P E

图1

M

C A

A

N 图2

B

⑵线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 作用:证明两条线段相等.

符号语言:如图1,∵点P在∠AOB平分线上, PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE=PF. 如图2,∵点M在线段AB的垂直平分线上, ∴MA=MB. 三、逆定理

⑴到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上;

⑵和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 作用:证明点在角平分线或在线段的垂直平分线上.

符号语言: 如图1,∵PE=PF, PE⊥OA,PF⊥OB,∴点P在∠AOB平分线上. 如图2,∵MA=MB, ∴点M在线段AB的垂直平分线上. 四、三角形的角平分线和中垂线的性质

⑴三角形的三个内角的平分线是三条线段，它们交于一点，交点到三边的距离相等.

⑵三角形的三边的中垂线是三条直线,它们交于一点,交点到三个顶点的距离相等.

例1:已知:如图3,PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA平分线,它们交于P,PD⊥BM于M，PF⊥BN于F. 求证:BP为∠MBN的平分线.

分析:要证BP为∠MBN的平分线,只需证PD=PF,而PA、PC

B

D A E

C F

图3

M

P

N

1 / 2






为外角平分线.故可过P作PE⊥AC于E,根据角平分线性质定理有PD=PE,PF=PE则有PD=PF,故问题得证. 证明:过P作PE⊥AC于E.

∵PA、PC分别是∠MAC与∠NCA平分线,PD⊥BM，PF⊥BN(已知), ∴PD=PE,PF=PE(角平分线上的点到角两边距离相等). ∴PD=PF.

又∵PD⊥BM，PF⊥BN(已知),

∴点P在∠MBN的平分线上(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上). ∴BP为∠MBN的平分线.

说明:有角平分线时常过角平分线上点向角两边作垂线,根据角平分线上的点到角两边距离相等证题.

例2:如图4,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC，DF∥AB. 求证: AD⊥EF

分析:易知EA=ED，从而点E在AD中垂线上，同理F也在AD中垂线上，而过E、F只能确定一条直线, ∴EF为AD的中垂线. 证明:由AD平分∠BAC得∠1=∠2,而DE∥AC，有∠3=∠2,于是得∠1=∠3，有EA=ED，知E在线段AD中垂线上，同理可证

B

E 3 4

图4

A 1 2

F

D

C

FA=FD知F也在线段AD中垂线上，∴直线EF为线段AD的中垂线, ∴AD⊥EF成立.

点拨:角平分线性质定理和中垂线性质定理一样,可以避免证明全等,直接得出线段相等的结论.



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