函数的周期性与对称性总结

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一:有关周期性的讨论

在已知条件faxfbx或

fxafxb中，

(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如axbxab，说明f(x)的图像具有对称性，其对称轴为x

ab

。 2

(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如xaxbab，说明 f（x）的图像具有周期性，其周期T=a+b。

设a为非零常数,若对于f(x)定义域内的任意x恒有下列条件之一成立

周期性规律 对称性规律

(1)f(xa)f(xa) T2a (1)f(ax)f(ax) xa

ab

2ab

(3)f(xa)f(x) T2a (3) f(ax)f(bx) x

2

(2)f(x)f(xa) Ta (2)f(ax)f(bx) x(4)f(xa)

1ab T2a (4) f(ax)f(bx) 点(,0)中心 f(x)21

T2a (5) f(ax)f(ax) 点(a,0)为对称中心 f(x)

(5)f(xa)

(6)f(xa)

f(x)1

T2a

f(x)1

1f(x)

T2a

1f(x)

1f(x)

T4a

1f(x)

(7) f(xa)

(8) f(xa)

(9) f(xa)

1f(x)

T4a

1f(x)

(10) f(x)f(xa)f(xa), a0 T6a


(11) 若函数f(x)同时关于直线xa, xb对称则函数f(x)的周期T2ba (12) 若函数f(x)同时关于点(a,0), (b,0)对称,则函数f(x)的周期T2ba

(13) 若函数f(x)同时关于直线xa 对称,又关于点(b,0)对称(b0)则函数f(x)的周期

T4ba

(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=2a (15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=4a (16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(

T

)=0. ⒈ 若yf(2x)的图象关于 2

两类易混淆的函数问题：对称性与周期性

例1. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？

例2. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+5）= f（x－5），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？

定理1：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f(ax)f(ax)，那么y= f（x）的图像关于直线xa对称。

易知，点Q的坐标为2ax0，y0。

0

0



因为点Px，y在y= f（x）的图像上，所以f(x0)y0

所以点Q2ax0，y0也在y= f（x）的图像上。 由P点的任意性知，y= f（x）的图像关于直线x=a对称。

证明：设点Px0，y0是y= f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，



于是f2ax0faax0faax0fx0y0



定理2：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线x

ab

的对称。 2

定理3：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+a）= f（x－a），那么y= f（x）是以2a为周期的周期函数。

证明：令xax'，则xx'a，xax'2a 代入已知条件fxafxa 得：fx'2afx'

根据周期函数的定义知，y= f（x）是以2a为周期的周期函数。

定理4：如果函数y= f（x）（x∈R）满足fxafxb，那么y= f（x）是以ab为周期的周期函数。

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