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洛朗级数域上有界连分数集合的Hausdorff维数
通过以数论与算术,动力系统,分形几何的学习及深入研究为基础,本篇文章主要是致力于有界连分数集合的Hausdorff维数的求法及其性质的研究.就目前而言,实数域上连分数的性质研究理论已经处于成熟阶段,例如那些部分商有界的连分数集合及当部分商以不同的速度趋近于无穷大时的连分数集合的Hausdorff维数的求法已经被I.J.Good[1],B.W.Wang和
J.Wu[2-5]等人所攻克,并得到结论:Texan猜想成立,即由这些维数组成的集合在实数域上的[0,1]区间内稠密.与之不同的是,本文是在以洛朗级数域为基础的前提下,一方面探讨连分数的一些性质,例如n阶柱集的长度和在柱集上定义的正规化的Haar测度均与前n个部分商的度数有关.另一方面主要研究用质量分布原则在洛朗级数域中求部分商的度数有界的连分数集合和部分商取给定的某些特殊值时集合的Hausdorff维数,以及此时Texan猜想是否仍然成立,并给出了相应的证明.本文将证明过程分成了两个部分,其中第一个部分证明了由那些维数组成的集合在区间[0,1/2]上稠密,第二个部分则说明在区间[1/2,1]上也是稠密的.本文的相关结论为后面研究形式级数域上连分数展式的性质和丟番图逼近等问题奠定了坚实的基础,并可应用于拉格朗日普及辛钦定理等问题中.在此基础上,针对于今后的课题,我们还可以尝试在形式级数域的研究背景下求部分商固定在某两个正整数间的有限连分数集合的Hausdorff维数的取值范围,或者是对其他展式的性质进行深入研究,例如β展式.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/bbd1bacae209581b6bd97f19227916888486b9e6.html
2022-08-15
