梅涅劳斯定理及塞瓦定理

2023-04-09 23:09:25   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《梅涅劳斯定理及塞瓦定理》,欢迎阅读!
定理,劳斯,塞瓦,梅涅
.

塞瓦定理 O是△ABC任意一点,

ABBOCO分别交对边于DEF,则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 〔Ⅰ〕此题可利用梅劳斯定理证明:

∵△ADC被直线BOE所截,

CB/BD*DO/OA*AE/EC=1



而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②①÷②:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

〔Ⅱ〕也可以利用面积关系证明

BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC

同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

塞瓦定理:

PQR分别是ABCBCCAAB边上的点,则APBQCR三线共点的充要条件是:

BPCQAR

1PCQARB

证:先证必要性:设APBQCR相交于点M,则:BPSABPSBMPSABMCQSBCMARSACM

同理:,PCSACPSCMPSACMQASABMRBSBCM

A

R

M

Q

A C

BPCQAR以上三式相乘,得:1

PCQARBBPCQARP C1B 再证充分性:若1,设APBQ相交于M,且直线CMABRPCQARBBPCQARARAR

由塞瓦定理有:1,于是:因为RR都在线

PCQARBRBRBAB上,所以R必与R重合,故APBQCR相交于一点点M

1:证明:三角形的中线交于一点;

ACBACB

证明:记ABC的中线AA1BB1CC1,我们只须证明1111

C1BACB1A1

B

B1

C

A1

而显然有:AC1C1B,BA1AC1,CB1B1A

AC1BA1CB11成立,ABC交于一点;C1BACBA11

A

A



C1

B1

C1

B1

C

. C >

B

A1

B

A1


.

证:作CKAB下证CKBMAN三线共点,且为P点,要证CKBMAN三线共点,

AMCNBK

依塞瓦定理即要证:1MCCN

C MCNBAK

AMBKAMAL

即要证明:1AMLAKC

N AKNBAKAC

BKBCALBC

BNLBKC即要证1M

NBBLACBL

ALBCB

依三角形的角平分线定理可知:1A K L ACBL

CKBMAN三线共点,且为PCPAB

3.ADABC的高,且DBC边上,若PAD上任一点,BPCP分别与ACAB交于EF,则EDAFDA

证:过AAD的垂线,与DEDF的延长线分别交于MN。欲证EDAFDA

课外作业: 课后练习答案:

三条高、



一、选择题

1、如图:设一直线与△ABC的边ABACBC延长线分别交于*YZ,则

A *

Y

Z

AXBZAY

的关系为

XBZCCYAXBZAYAXBZAYAXBZAYA B C D

XBZCCYXBZCCYXBZCCY

不能确定

2、如图:设*YZ分别是△ABC的边BCACAB上的点,A*BYCZ相交于点O

B

C 1

A Z

O

Y

AZBXAY

的关系为

ZBXCYCAZBXAYAZBXAYAZBXAYA B C D

ZBXCYCZBXCYCZBXCYC



B

*

C

2

不能确定

A

3、如图,在△ABC中,F点分AC12GBF的中点,AG的延长线交BCE,则EBC边所成的比

F



1121A B C D

4253

G

B

E

3

C

4、如图,FDE分等边△ABC的三边ABBCCA均为12两局部,ADBECF相交成△PQR的面积是

A

ABC面积的

A

1111 B C D 10987

B

F

R

E Q 4

C

P D

. >


本文来源:https://www.wddqxz.cn/bae43ca0b90d4a7302768e9951e79b8968026833.html

相关推荐