天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学试题

2022-07-11 15:29:42   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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天津市南开中学2021高三年级第三次月考



本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第I12页,第II34页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。答题时,务必将答案涂写在答题纸上,答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利!

I

注意事项:

1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题,每小题5分,共45分。

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1)设集合A{x||x|2},集合B{x|3x1},则AB A.{1,0,1}

B.(2,1]

C.[3,1]

D.[3,2]

2)下列函数中,在区间(0,)内单调递增的是( A.y2 3)函数y

x

B.yx

12

C.ylog1x

2

D.y

1 x

sin3x

x(,)的图象大致为(

1cosx



A

B



C

D

4已知公差不为0的等差数列{an}的首项a13a2a3a6成等比数列,{an}

1




的前5项之和为( A.23

B.25

C.43

D.45

5)设a2log35b3log52c5log23,则abc的大小关系为( A.abc

B.bac

C.bca

D.cab

x2y2

1的焦距为4,则m的值为( 6)椭圆

16mm2

A.1 B.7 C.117 D.711

7)以下命题正确的是(

A.命题“任意x0xsinx”的否定为“存在x0xsinx

B.设等比数列q0的前n项和为Sn,则“SnSn10”是“公比q0”的充要条件 C.若对于任意实数λ,有ab,则向量ab不共线

D.线kxy302x(k1)y60线(k1)x2y30

kx(k1)y60垂直”的充分非必要条件

8)已知函数f(x)cos(x).给出下列结论:

3

f(x)的最小正周期为2 ②点(,0)是曲线yf(x)的对称中心;

3③把函数ysinx的图象上所有点向左平移其中所有正确结论的序号是( A.

B.①③

C.②③

D.①②③







个单位长度,得到函数yf(x)的图象. 6

9)已知函数f(x)|xa|

3

,若方程f(x)2有且只有三个不同的实aaR

x

数解,则a的取值范围为(

C.,13

A.13,3 注意事项:

B.,13D. 1,1





131

3,3 3,





II

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2.本卷共11小题,共105.

二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30.

10i是虚数单位,纯虚数z满足z(1i)m2i,则实数m的值为________.

2




2

11)在x2的展开式中,常数项是________.

x

12)已知点P(2,2)和圆C(x1)2(y2)216,则P在圆C________(填内、外或上),以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为________________.

13

13)已知向量ab的夹角为60a(,)aab2,则ab的值为

22

6



________.

14)已知a0b0,且a2b2,则

21

的最小值为________.

a2b1

1aax, 1x1,

15)已知aR.设函数f(x)若关于x的不等式f(f(x))0

xalnx, x1.恒成立,则a的取值范围为________. 三、解答题:本大题共5个小题,共75.

16本小题满分14分)ABC中,ABC所对的边分别为abc.已知a23

b5c7.

I)求角C的大小; II)求sinA的值; III)求sin(2A



6

)的值.

17(本小题满分15分)如图,在四棱锥SABCD中,侧棱SA底面ABCD,底面

ABCD是直角梯形,ABCDABADSAADCD2AB1.



I)设点M为棱SD的中点,求证:AM∥平面SBC II)求异面直线SDBC所成角的余弦值;

III)棱SB上的是否存在点N,使得平面ANC平面SBC?若存在,求出AN的长;若不存在,说明理由.

3




18(本小题满分15分)设数列{an}是公比为正整数的等比数列,满足a1a310

a22a38.设数列{bn}满足b11bn1

bn1

. bn3

I)求{an}的通项公式;

1

II)求证:数列是等差数列,并求{bn}的通项公式;

bn1

n

2n1anbn

III)记cnn2.求证:ck4.

nn1k2

x2y22

19(本小题满分15分)已知椭圆C 221ab0)的离心率e

2ab

且点P(2,1)在椭圆上. I)求椭圆C的方程;

II若椭圆C的左焦点为F右顶点为AB在椭圆位于x轴上方的部分,直线ABy轴交于点D,点Ey轴上一点,满足FFDF,直线AE与椭圆C交于点G.

ABG的面积为22,求直线AB的方程.

20(本小题满分16分)已知函数f(x)axlnx1g(x)xex. I)若a1,求函数f(x)的最大值; II)若a0

i)求过原点且与曲线yg(x)f(x)相切的直线方程;

ii)设x1x2为方程g(x)f(x)ttR)的解,求证:|x1x2|t.

天津市南开中学2021高三年级第三次月考

参考答案

一、选择题:BBDDBDDBB

二、填空题:102 1160 12)外 (x2)2(y2)281 137 14三、解答题:

24

ae 1523

a2b2c2122573

16I)解:由余弦定理,得cosC,所以C30.

2ab2203

4




1

1sinc21

II)解:由(I,有sinC,由正弦定理,得sinAa. 232

2c77IIIabAcosA1sin2A1

32



77



sin2A2sinAcosA2

413243

cos2A2cos2A121

77777

4331113

. sin2Asin2Acoscos2Asin

666727214

17)证明:I)以点A为坐标原点,向量ABADAS的方向分别为xyz正方向,建立空间直角坐标系.易知,A(0,0,0)B(1,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)S(0,0,2)

M(0,1,1).

PSC则有P(1,1,1)BP(0,1,1)AMBP

BP平面SBCAM平面SBC,所以AM

平面SBC.

AM

II

SDBCSDBC





SD(0,2,2)



BC(1,2,0)

cosSD,BC

0122(2)00222(2)2122202

10

.所以,异面直线SD5

BC所成角的余弦值为

10. 5

nSB,

III)由(I)中知,SB(1,0,2).设平面SBC的法向量为n(x,y,z),有

nBC,

x2z0,

进而不妨设z1,得n(2,1,1).依题意,设SNSB01,可

x2y0,

mAN,N(,0,22).ANCm(x,y,z)

mAC,

x(22)z0,



2x2y0,

x1m(1,1,



).mn22







mn12(1)(1)



1022



67

.

5




|AN|

262

AN0210.

777

2

22

2

a12,a1a1q10,n

a218)解:I)设数列{an}的公比为q,有22解得所以. n2

q2,a1qa1q8,

证明:II

1bn11



111b31b321

nn,又因为bn1bn11bn12bn2bn12bn22

bn3

11111

,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,其通项公式为b11222bn1

1n2

.进而,bn1. b112n

2n2n2n1n

2IIIcn

n(n1)n1n22232324所以ck1223k2

n

2n2n12n1

4. n1nn

c2

,ea2,a2x2y2222

1. 19解:I由已知,abc,解得b2,所以椭圆C的方程为

4221c2,221,

baII)由(I)知,F



2,0A(2,0).设直线AB的方程为yk(x2)k0,其与



C

x2y2

1,

B(xB,yB)42

yk(x2),

y

(12k2)x28k2x8k240

4k22

解得xB2.在直线AB的方程中,令x0,解得y2k,即得D(0,2k).

2k1F(0,xE)

由题意,EFDF



2,xE



2,2k22kxE0解得xE



1

.进而得到直线AEk

x2y2

1,x42的方程为ky1,其与椭圆C的交点G(xG,yG)满足方程组消去x得到

2xky1,

2

6




24k24k

(2k1)y4ky0yG2xG2.

2k12k1

2

2

kxG2kyG4k41k2

|AB|1k|xBxA|,点G到直线的距离为.AB

222k211k1k

2

因此,SABG

141k2



22k21

4k1k2

22,化简得2k222k10,解得k

12

所以直线AM的方程为x2y20. 20解:If(x)xlnx1f(x)1

1

.0x1时,f(x)0f(x)x

单调递增;当x1时,有f(x)0,则f(x)单调递减.因此,存在极大值f(1)0,也即函数的最大值.

II)记h(x)g(x)f(x)xexlnx1.取曲线yh(x)上一点P(x0,h(x0)),则P线yh(x0)(xx0)h(x0).0h(x0)(x0)h(x0)

lnx01lnx0

x0elnx0,变形后得到方程x0elne.记函数yxex(x0),由

x0x0

2x0

1

x0

y(1x)ex0yxex(x0)为增函数,x0ln

1

.将其代入切线方程,得所求x0

切线方程为yx.

III)构造函数H(x)h(x)x,则H(x)(1x)ex

111H(x)(2x)ex2.xx

显然H(x)0,故H(x)单调递增.又由前问知,H(x0)0,因此当0xx0时,

H(x)0H(x)xx0H(x)0H(x).H(x)H(x0)0.由题意,h(x1)h(x2)t.不妨设x1x2,由前述知,H(x2)0,即x2h(x2)t.所以|x1x2|t0t.



7




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