二元一次方程的整数解

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（9）二元一次方程的整数解

【知识精读】

1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，

∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解



111y1y10y1y

=2y (1) , 5551y

设k(k是整数），则y=1-5k (2) ,

5

解：x=

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是方法二，公式法：

x11k2

（k是整数）

y15k

xx0xx0bk

设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）

yyakyy00

3， 求二元一次方程的正整数解：

① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。

【分类解析】

例1求方程5x－9y=18整数解的能通解

189y1510y3y3y

32y

5553y设k（k为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k

5

解x=

∴原方程整数解是

x99k

（k为整数）

y35k

又解：当x=o时，y=－2， ∴方程有一个整数解

x0x09y

它的通解是（k为整数）

y25ky2






从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x= 设

1006yy

20y(1)， 55

y

k(k为整数)，则y=5k,(2) 5

把（2）代入（1）得x=20-6k， ∵

x0206k0

解不等式组

y05k0

得0＜k<

20

,k的整数解是1，2，3， 6

x8

y10

x2

y15

x14

∴正整数解是

y5

例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得

3x+5y=38 （x,y都是正整数）

x1

∵x＝1时，y=7，∴是一个整数解

y7

∴通解是

x15k

（k为整数）

y73k

15k017

解不等式组得解集是k ∴整数k=0，1，2

5373k0

把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解

x1

y7x6

y4x11



y1

答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。

【实战模拟】，

1， 求下列方程的整数解

①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4

2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110

3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？

4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁

数。

5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）

① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,

④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.






6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？

7． 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：

y= x=

1

4

－2











17y

 3

练习9

1. 公式法①由特解

x4x47k

得通解（k为整数）

y0ky0

x5x511k得通解（为k整数）

y25ky2

②由特解

x10k3110y1y

整除法①∵x==-3y,……∴通解是（k为整数）

y13k33

②通解是

x3k1

（k为整数）

y511k

x2x9x16x223k222. ① ② －＜k＜0…… 

y11y6y1y05k3

3. 有6种截法

甲＝5

乙＝34甲＝10

乙＝28甲＝15

乙＝22甲＝20

乙＝16甲＝25

乙＝10甲＝19



乙＝5

4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略）

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