二元一次方程的整数解

2022-04-21 03:40:07   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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一次方程,二元,整数


9)二元一次方程的整数解

【知识精读】

1 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,

a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果(a,b|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立,方程9x+3y=10 4x-2y=1都没有整数解,

∵(93)=3,而3不能整除10;(42)=2,而2不能整除1 一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。 2 二元一次方程整数解的求法:

若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。

方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解



111y1y10y1y

=2y (1) , 5551y

k(k是整数),则y=1-5k (2) ,

5

解:x=

把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是方法二,公式法

x11k2

k是整数)

y15k

xx0xx0bk

ax+by=c有整数解则通解是x0,y0可用观察法)

yyakyy00

3 求二元一次方程的正整数解:

出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k 用观察法直接写出。

【分类解析】

1求方程5x9y=18整数解的能通解

189y1510y3y3y

32y

5553ykk为整数),y=35k, 代入得x=99k

5

x=

∴原方程整数解是

x99k

k为整数)

y35k

又解:当x=o时,y=2 ∴方程有一个整数解

x0x09y

它的通解是k为整数)

y25ky2






从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 2,求方程5x+6y=100的正整数解 解:x=

1006yy

20y(1) 55

y

k(k为整数),则y=5k,(2) 5

把(2)代入(1)得x=20-6k

x0206k0

解不等式组

y05k0

0k<

20

,k的整数解是123 6

x8

y10

x2

y15

x14

∴正整数解是

y5

3,甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本? 解:设甲种书买x本,乙种书买y本,根据题意得

3x+5y=38 x,y都是正整数)

x1

x1时,y=7,∴是一个整数解

y7

∴通解是

x15k

k为整数)

y73k

15k017

解不等式组得解集是k ∴整数k=012

5373k0

k=0,1,2代入通解,得原方程所有的正整数解

x1

y7x6

y4x11



y1

答:甲、乙两种书分别买17本或64本或111本。

【实战模拟】,

1 求下列方程的整数解

①公式法:x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法:3x+10y=1, 11x+3y=4

2, 求方程的正整数解:①5x+7y=87, 5x+3y=110

3,一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材?

4 兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,求兄弟三人的岁

数。

5 下列方程中没有整数解的是哪几个?答:________(填编号)

4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,

18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.






6, 一张试巻有20道选择题,选对每题得5分,选错每题反扣2分,不答得0分,小这军同学得48分,他最多得几分?

7 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解:

y= x=

1

4

2











17y

3

练习9

1. 公式法①由特解

x4x47k

得通解k为整数)

y0ky0

x5x511k得通解(为k整数)

y25ky2

②由特解

x10k3110y1y

整除法①∵x==-3y,……∴通解是k为整数)

y13k33

②通解是

x3k1

k为整数)

y511k

x2x9x16x223k222. k0……

y11y6y1y05k3

3. 6种截法

甲=5

乙=34甲=10

乙=28甲=15

乙=22甲=20

乙=16甲=25

乙=10甲=19



乙=5

4. 1613 5. AD. 6. 12 7.(略)




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