三角形外心内心重心垂心与向量性质

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三角形的“四心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、 垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时, 四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。.'ABC的重心一般用字母0表示。 性 质：

1.外心到三顶点等距，即 OA =0B =0C。

2•外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即

0D _ BC,OE _ AC,OF _ AB.

3.向量性质：若点 0为 ABC所在的平面内一点，满足

(OA 0B)BA =(0B 0C)CB =(0C 0A)AC，则点 0 为.ABC 的外心。

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆 圆心。厶ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质： 性 质：

1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

1

2. 三角形的面积=

三角形的周长 内切圆的半径.

2

3.向量性质: 设；.三〔0,



,则向量AP = ■(

AB I AB|

AC

上J),则动

|AC|

点P的轨迹过.\ABC的内心。

1




三、三角形的垂心

定 义：二角形二条咼的交点叫重心。 示。 性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边, 即 AH _ BC,BH _ AC,CH _ AB。 2.向量性质：

结论1 :若点0为 ABC所在的平面内一点，满足

二ABC的重心一般用字母 H表

OA OB =0B OC =0C 0A，则点 0 为- ABC 的垂心。

2 ----------- 2 -------------2 ----------- 2 ------------- 2 ------------ 2

结论2：若点O ABC所在的平面内一点，满足OA BC OB CA OC AB，

则点O为AABC的垂心。

四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

AABC的重心一般用字母

G表示。

性 质:

1. 顶点与重心G的连线必平分对边。

2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 倍。

即 GA 二 2GD, GB 二 2GE, GC 二 2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值.

2

yG

4.向量性质:



yA yB yc

3

(1) GA GB GC =0; (2) PG

(PA PB PC)。 3

1 -

2

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