初中数学数学论文数学教学中要善于挖掘逆向思维训练素材

2022-03-22 05:58:28   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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数学教学中要善于挖掘逆向思维训练素材

逆向思维,是与人们长期形成的思维习惯相悖的思维方式,具有很强的创造性。数学史上,正是由于探求尺规三等分任意角的失败,才使人们从反面论证了其作法的不可能性;非欧几何的诞生,更是逆向思维的伟大杰作。实践证明,逆向思维可使人的大脑产生强烈的兴奋感。因此,数学教学中,注重对学生的逆向思维训练,对激发学生的学习兴趣,培养学生良好的思维品质是十分必要的,也是非常重要的。教学中要善于挖掘逆向思维训练素材,不失时机的对学生进行训练。笔者在长期教学活动中特别注重从以下几方面挖掘逆向思维素材。 概念教学

“定义法”是常见的一种解题方法,定义的逆用,往往更能有效的解决问题,更能使学生深刻理解概念的本质。

1 已知函数fx)单调递减的奇函数,x fa+fa )>0,求a的范围。

: fa+ fa )>0 可变为fa)>-fa )。 fx)是奇函数,有 f-x=-fx)。

fa)>-fa = f-a (逆用奇函数定义) fx)为减函数,

a a (逆用减函数定义) 从而解得 -1a0

逆用定义,不仅“吸收”了-fa )前的“-”号,“剥去”了f(a)> fa )的”壳”,而且更能使学深刻理解奇函数,减函数概念的意义. 公式 法则教学

对于公式法则既要掌握其正用,又要灵活掌握其逆用变用。逆用和变用就是逆向思维。 2 化简 2lg -lg7+2lg3+ lg . : 逆用对数运算法则: 原式=lg =lg100=2.

3 化简 sin(36 +2x)cos(54 -2x)+cos(36 +2x)sin(54 -2x). 逆用和角正弦公式:

原式= sin[(36 +2x)+(54 -x)]=sin90 =1. 数学方法教学

1.反证法 被誉为数学家最精良的武器之一,是从假设结论的反面出发,推出矛盾,从而推翻假设,肯定原结论的一种证明方法。这种应用逆向思维的证明方法,可使许多问题的解决相当简捷且更具说服力。

2.分析法 分析法的实质是“执果索因”。即从结论出发,探求使其成立的充分条件,判定条件具备,从而肯定结论成立。这也是逆向思维的具体运用。 3.待定系数法

4 已知fx= 8x +12x -6x -11 x +3x +3x-1,且fx)是另一个整系数多项式g(x) 的立方,求g(x).

分析 由多项式理论可知,g(x) 必为二次多项式,且二次项系数为2,常数项为-1,现只需求一次项系数。为此,g(x)据其特征先设为g(x)=2x +bx-1,然后将其代入题设条件,使其“活化”,从而解出b. g(x)= 2x +bx-1

8x +12x -6x -11 x +3x +3x-1=(2x +bx-1) x=1,8=(b+1) ,b=1


g(x)= 2x +x-1.

4. 换元法(代换法) 这也是常见的一种解题方法。有些问题往往需根据其结构特征,逆向寻求代换,将问题转化,有“柳暗花明”之效。

5 证明:任给七个实数中,必存在两个实数ab,满足0≤ a-b)<1+ab.

分析 此题为存在性问题,本难解决。但若将结论变形为0≤ 时,对 寻求与其结构相似的式子,有=tan( ),因而考虑三角代换。

证明 x =tan , (- , ), k=1,2, …,7。为任意七个实数. (- , )分成六个长度相等的小区间:

- - ]、(- - ]、(- 0]、(0 ]、( ]、( , . 这时,七个 中至少有两个落入同一个小区间内 设其中的 落在同一个小区间内,不妨设 则有0≤tan( - )tan 0≤

a=tan ,b=tan ,0≤

a≥b1+ab0,存在ab满足0≤ (a-b)<1+ab.

5.间接法(排除法)有些问题其正面情况比较复杂,较难入手,但若逆向考虑其反面,便能很快得解。这种方法通常被人们习惯的称为间接法或排除法.

6 有关于x的三个方程x +4mx+3=0; x +(m-1)x+m =0; x +2mx-2m=0.它们中至少一个有实根,求实数m的范围。

分析 “至少一个有实根”包括只有一个有实根;其中两个方程有实根;三个方程都有实根三种情况。但我们考虑问题的反面:m为何实数时,三个方程均无实根。问题变得简单易解。

若三个方程均无实根,则有 - m-1

其补集m≤- m≥ -1 为所求m的取值范围。 6.运算技巧教学 7 化简 原式= =

=cos10 -sin10

式子的化简或证明,一般遵循“由繁到简”的原则。但为达整体化简的目的,有时需做“有简到繁”的工作。如本例中的“1”。

8 求和 1 +2 +3 +…+n .

:∵(k+1 -k =3k +3k+1,将k=1,2,3,…,n分别代入后迭加得到 n+1 -1

=3(1 +2 +3 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n =3(1 +2 +3 +…+n )+ +n

1 +2 +3 +…+n =[(n+1) - 1- - n]= n(n+1)(2n+1).

习惯上,总是试图“降次”、“降维”,但有些情况却恰恰需要去考察问题的更高级。再如几何中的“等积分”等。

9 有甲乙丙三堆火柴,首先从甲堆中拿出等于乙丙两堆之和的火柴,按乙丙两堆火柴数分别放入乙丙两堆中,乙堆中取处等于甲丙两堆火柴之和的火柴,并按甲丙两堆的火柴数分别放入甲丙两堆中,最后从丙堆中取出等于甲乙两堆之和的火柴,并按甲乙两堆火柴数分别放入甲乙两堆中.这时三堆火柴均为8根,问各堆原有几根火柴?


分析 此问题中,由最后各堆均有8根火柴知道,共有24根火柴,前后3次调整,我们按照与活动顺序相反的方向去考虑。

第三次调整后火柴堆放情况 8 8 8

第三次调整前火柴堆放情况

(从甲,乙中各取一半还入丙中) 4 4 16

第二次调整前火柴堆放情况

(从甲,丙中各取一半还入乙中) 2 14 8

第一次调整前火柴堆放情况

(从乙,丙中各取一半还入甲中) 13 7 4

火柴原来各堆分别是甲13根,乙7根,丙4根。

可见,有些问题按其发生顺序去解,令人茫然,若从结果逆推,极易得解。 四、反例

数学离不开猜想 假设,但有些猜想往往是错误的。若从正面证明其错误性,又相当困难。但如果能找出反例,便可轻而易举的将其推翻。如费尔马对F =2 +1算出当n=1,2,3时,F F F 是质数,就猜想当n为任意数时,F =2 +1都是质数。欧拉对其感到怀疑,1732年他举出当n=5时,2+1=641×6700417不是质数,否定了费尔马的猜想。

反例,在解诸如填空 判断 选择题时,更是一种简单易行的方法;在解题后,对解题过程和结果的检验,也是一种行之有效的方法;在审题时,可帮助我们找出由于种种原因而出现的错题,以避免浪费精力和时间。如此等等,不能低估了反例的作用。

数学被誉为“思维体操”,思维的多样性 灵活性更是其显著特点。以上所谈逆向思维训练素材,仅是“管中窥豹”。我们在教学中应深入广泛地挖掘思维素材,对学生进行有效的训练,从而培养学生良好的思维品质,提高学生的数学素养。


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