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数学教学中要善于挖掘逆向思维训练素材
逆向思维,是与人们长期形成的思维习惯相悖的思维方式,具有很强的创造性。数学史上,正是由于探求尺规三等分任意角的失败,才使人们从反面论证了其作法的不可能性;非欧几何的诞生,更是逆向思维的伟大杰作。实践证明,逆向思维可使人的大脑产生强烈的兴奋感。因此,在数学教学中,注重对学生的逆向思维训练,对激发学生的学习兴趣,培养学生良好的思维品质是十分必要的,也是非常重要的。教学中要善于挖掘逆向思维训练素材,不失时机的对学生进行训练。笔者在长期教学活动中特别注重从以下几方面挖掘逆向思维素材。 一 、 概念教学中
“定义法”是常见的一种解题方法,定义的逆用,往往更能有效的解决问题,更能使学生深刻理解概念的本质。
例1 已知函数f(x)单调递减的奇函数,x 且f(a)+f(a )>0,求a的范围。
解: f(a)+ f(a )>0 可变为f(a)>-f(a )。 f(x)是奇函数,有 f(-x)=-f(x)。
f(a)>-f(a )= f(-a ) (逆用奇函数定义) 又 f(x)为减函数,
a <a (逆用减函数定义) 从而解得 -1〈a〈0 。
逆用定义,不仅“吸收”了-f(a )前的“-”号,“剥去”了f(a)> f(a )的”壳”,而且更能使学深刻理解奇函数,减函数概念的意义. 二 、 公式 法则教学中
对于公式法则既要掌握其正用,又要灵活掌握其逆用变用。逆用和变用就是逆向思维。 例2 化简 2lg -lg7+2lg3+ lg . 解: 逆用对数运算法则: 原式=lg =lg100=2.
例3 化简 sin(36 +2x)cos(54 -2x)+cos(36 +2x)sin(54 -2x). 解: 逆用和角正弦公式:
原式= sin[(36 +2x)+(54 -x)]=sin90 =1. 三 数学方法教学中
1.反证法 被誉为数学家最精良的武器之一,是从假设结论的反面出发,推出矛盾,从而推翻假设,肯定原结论的一种证明方法。这种应用逆向思维的证明方法,可使许多问题的解决相当简捷且更具说服力。
2.分析法 分析法的实质是“执果索因”。即从结论出发,探求使其成立的充分条件,判定条件具备,从而肯定结论成立。这也是逆向思维的具体运用。 3.待定系数法
例4 已知f(x)= 8x +12x -6x -11 x +3x +3x-1,且f(x)是另一个整系数多项式g(x) 的立方,求g(x).
分析 由多项式理论可知,g(x) 必为二次多项式,且二次项系数为2,常数项为-1,现只需求一次项系数。为此,将g(x)据其特征先设为g(x)=2x +bx-1,然后将其代入题设条件,使其“活化”,从而解出b. 解: 设g(x)= 2x +bx-1
则8x +12x -6x -11 x +3x +3x-1=(2x +bx-1) 令x=1,得8=(b+1) ,b=1
∴g(x)= 2x +x-1.
4. 换元法(代换法) 这也是常见的一种解题方法。有些问题往往需根据其结构特征,逆向寻求代换,将问题转化,有“柳暗花明”之效。
例5 证明:任给七个实数中,必存在两个实数a和b,满足0≤ (a-b)<1+ab.
分析 此题为存在性问题,本难解决。但若将结论变形为0≤ ≤ 时,对 寻求与其结构相似的式子,有=tan( ),因而考虑三角代换。
证明: 设 x =tan , ∈(- , ), k=1,2, …,7。为任意七个实数. 将(- , )分成六个长度相等的小区间:
(- ,- ]、(- ,- ]、(- ,0]、(0, ]、( , ]、( , ). 这时,七个 中至少有两个落入同一个小区间内 设其中的 和 落在同一个小区间内,不妨设 ≥ 则有0≤tan( - )<tan 即0≤ <
令a=tan ,b=tan ,有0≤ <
由a≥b知1+ab>0,存在a、b满足0≤ (a-b)<1+ab.
5.间接法(排除法)有些问题其正面情况比较复杂,较难入手,但若逆向考虑其反面,便能很快得解。这种方法通常被人们习惯的称为间接法或排除法.
例6 有关于x的三个方程x +4mx+3=0; x +(m-1)x+m =0; x +2mx-2m=0.它们中至少一个有实根,求实数m的范围。
分析 “至少一个有实根”包括只有一个有实根;其中两个方程有实根;三个方程都有实根三种情况。但我们考虑问题的反面:m为何实数时,三个方程均无实根。问题变得简单易解。
解: 若三个方程均无实根,则有 - <m<-1
其补集m≤- 或 m≥ -1 为所求m的取值范围。 6.运算技巧教学中 例7 化简 解; 原式= =
=cos10 -sin10
式子的化简或证明,一般遵循“由繁到简”的原则。但为达整体化简的目的,有时需做“有简到繁”的工作。如本例中的“1”。
例8 求和 1 +2 +3 +…+n .
解:∵(k+1) -k =3k +3k+1,将k=1,2,3,…,n分别代入后迭加得到 (n+1) -1
=3(1 +2 +3 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n =3(1 +2 +3 +…+n )+ +n
∴1 +2 +3 +…+n =[(n+1) - 1- - n]= n(n+1)(2n+1).
习惯上,总是试图“降次”、“降维”,但有些情况却恰恰需要去考察问题的更高级。再如几何中的“等积分”等。
例9 有甲乙丙三堆火柴,首先从甲堆中拿出等于乙丙两堆之和的火柴,并按乙丙两堆火柴数分别放入乙丙两堆中,乙堆中取处等于甲丙两堆火柴之和的火柴,并按甲丙两堆的火柴数分别放入甲丙两堆中,最后从丙堆中取出等于甲乙两堆之和的火柴,并按甲乙两堆火柴数分别放入甲乙两堆中.这时三堆火柴均为8根,问各堆原有几根火柴?
分析 此问题中,由最后各堆均有8根火柴知道,共有24根火柴,前后3次调整,我们按照与活动顺序相反的方向去考虑。
甲 乙 丙 第三次调整后火柴堆放情况 8 8 8
第三次调整前火柴堆放情况
(从甲,乙中各取一半还入丙中) 4 4 16
第二次调整前火柴堆放情况
(从甲,丙中各取一半还入乙中) 2 14 8
第一次调整前火柴堆放情况
(从乙,丙中各取一半还入甲中) 13 7 4
火柴原来各堆分别是甲13根,乙7根,丙4根。
可见,有些问题按其发生顺序去解,令人茫然,若从结果逆推,极易得解。 四、反例
数学离不开猜想 假设,但有些猜想往往是错误的。若从正面证明其错误性,又相当困难。但如果能找出反例,便可轻而易举的将其推翻。如费尔马对F =2 +1算出当n=1,2,3时,F 、F 、F 是质数,就猜想当n为任意数时,F =2 +1都是质数。欧拉对其感到怀疑,1732年他举出当n=5时,2+1=641×6700417不是质数,否定了费尔马的猜想。
反例,在解诸如填空 判断 选择题时,更是一种简单易行的方法;在解题后,对解题过程和结果的检验,也是一种行之有效的方法;在审题时,可帮助我们找出由于种种原因而出现的错题,以避免浪费精力和时间。如此等等,不能低估了反例的作用。
数学被誉为“思维体操”,思维的多样性 灵活性更是其显著特点。以上所谈逆向思维训练素材,仅是“管中窥豹”。我们在教学中应深入广泛地挖掘思维素材,对学生进行有效的训练,从而培养学生良好的思维品质,提高学生的数学素养。
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