梅涅劳斯定理

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梅涅劳斯定理

【定理内容】

如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、

D、E点，

那么

AFBDCE

1. FBDCEA

E

[评]等价叙述：ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上有三点F、A

FD、E，则F、D、E三点共线的充要条件是

AFABDFCE

1。三FBDCEA

点所在直线称为三角形的梅氏线。

E

【背景简介】 B

CD

B

C

D

梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 【证法欣赏】

证法1：（平行线分线段成比例）

证：如图，过A作AG//BC交CF延长线于G，

G

AF

E

BDBD

又 CDCDE

AFCEBDAGCDBD则1

FBEACDBDAGCD

A

FG

证法2：（正弦定理）

BCD

B

C

D

证：如图，令AEF，AFE，BDE， A

AFAEF

在AEF中，由正弦定理知：

sinsin

E

E

，

A

F

同理

B

BFBDBD



sinsin(180)sin

C

D

，

CDCE

 sinsin

D

C

∴

AFBDCEAFBDCEB

1，即1. AEBFCDFBDCEA

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【逆定理】

梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即

如果有三点F、D、E分别在ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足

AFBDCE

1，那么F、D、E三点共线。 FBDCEA

[注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线 【定理应用】

梅涅劳斯定理的应用定理1：

若ABC的A的外角平分线交边BC延长线于P，B的平分线交边

AC于Q，C的平分线交边AB于R，则P、Q、R三点共线。

证：由三角形内、外角平分线定理知， 则

ARBPCQCABABC

1， RBPCQACBCAAB

B

A

R

Q

F

C

P

故P、Q、R三点共线。 【定理应用】

梅涅劳斯定理的应用定理2：

过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别与

BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线。

证：∵CR是⊙O的切线，

RARARCAC2

()， 则

RBRCRBCB

R

A

O

同理：

CQBC2BPAB2

() ()，QABACPAC

BC

P

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Q

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