【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《高中数学选修2-3课时作业7：2.3.2离散型随机变量的方差》，欢迎阅读！
人教版高中数学选修2-3
2．3.2 离散型随机变量的方差
一、基础达标
1．下列说法中，正确的是( )
A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值 B．离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值 [答案] C
2．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝1，A发生，
0，A不发生，方差D(ξ)等于( ) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m)
[答案] D
[解析] 随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 P
1－m
m
∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
1
则ξ的
人教版高中数学选修2-3 ∴故选D.
1
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于( )
3A．6B．9C．3D．4 [答案] A
111
[解析] E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
33312
∴D(X)＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝，
332
∴D(3X＋5)＝9D(X)＝9×＝6.
3
4．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是( ) A．100和0.08 C．10和0.2 [答案] D
[解析] 因随机变量X～B(n，p)， 则E(X)＝np＝8， D(X)＝np·(1－p)＝1.6， 所以n＝10，p＝0.8.
5．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________. [答案] 1
[解析] D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ P
－1 a
0 b
1 c
B．20和0.4 D．10和0.8
1
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
35
[答案]
9
111
[解析] 由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，以上三式联立解得a＝，b＝，
36315
c＝，故D(ξ)＝. 29
7．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
ξA
110 120
2
125 130 135
人教版高中数学选修2-3
P
ξB P
100 0.1
115 0.2
125 0.4
130 0.1
145 0.2
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度．(哪一种的稳定性较好)
解 E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由此可见，E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，故甲的稳定性好． 二、能力提升
8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )
ξ P
A.3.56B.3.2C．3.2D.3.56 [答案] D
[解析] 依题意：0.4＋0.1＋x＝1， ∴x＝0.5，
∴E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴Dξ＝3.56.
2k1n－k
9．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)n()()33的值为( ) 2
A．8B．12C.D．16
9[答案] A
3
1 0.4
3 0.1
5 x
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2222
[解析] 由题意可知ξ～B(n，)，∴E(ξ)＝n＝24.∴n＝36.∴D(ξ)＝36××(1－)＝8.
33331
10．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
52
[答案]
5
[解析] 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 1a＝5，5＋a＋b＝1，则解得1a＋2b＝1，b＝5，1312所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
5555
11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， C378
则P(ξ＝6)＝3＝.
C1015
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
1C278C2
则P(ξ＝9)＝3＝.
C1015
3
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，
2C118C2
则P(ξ＝12)＝3＝.
C1015
∴ξ的分布列为
ξ P
771
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
151515
771
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
151515
12．为了迎战下届奥运会，对甲、乙两名射手进行一次选拔赛．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
6 7
15
9 7 15
12 1 15
4
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(1)求ξ，η的分布列；(其中ξ为甲击中的环数，η为乙击中的环数) (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 解 (1)依据题意，知0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η的分布列分别为
ξ P
η P
(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. ∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． ∴甲的射击技术好． 三、探究与创新
13．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
10 0.3
9 0.3
8 0.2
7 0.2
10 0.5
9 0.3
8 0.1
7 0.1
5
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将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．
解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
3P(X＝0)＝C03(1－0.6)＝0.064，
P(X＝1)＝C10.6(1－0.6)2＝0.288， 3·P(X＝2)＝C20.62(1－0.6)＝0.432， 3·P(X＝3)＝C30.63＝0.216， 3·则X的分布列为
X P
0 0.064
1 0.288
2 0.432
3 0.216
6
人教版高中数学选修2-3
因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
7
本文来源：https://www.wddqxz.cn/afc519c01ae8b8f67c1cfad6195f312b3169eb3e.html
2022-07-13
