第二数学归纳法

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第二数学归纳法



数学归纳法是一种重要的论证方法。本文从最小(自然)数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法(也称完整归纳法)进行粗略的探讨。

数学归纳法是一种重要的论证方法。我们通常所说的"数学归纳法"大多是指它的第一种形式而言，本文从最小(自然)数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识，并得到一种加强的证明方法。相对于第一数学归纳法，第二数学归纳法的假设更强，理论上可以使用第一数学归纳法证明的，必然可以使用第二数学归纳法证明;反之则不一定成立，我们有一个有关整数的整除理论的典型证明:"所有大于1的整数都可以分解成若干个素数的乘积"来看出这一点。

原理：1.最小(自然)数原理:(注:可利用数学归纳法加以证明)

任意一个非空自然数集C有最小元素。③ 2.第二数学归纳法: 设有一个与自然数n有关 的命题P0，P1，P2,…,Pn如果:


(1)当n=0时，命题成立;①

(2)假设当n≤k(k∈N)时，命题成立;② 由此可推得当n=k+1时，命题也成立。

那么根据①②可得，命题对于一切自然数n来说都成立。

证明：提示:用反证法证明。

证明:假设命题不是对一切自然数都成立，

假设C表示使命题不成立的自然数所组成的集合，显然C非空，

由③可得，C中必然存在最小元素，记为q，④ 若q=0，与①矛盾，故q≥1; ∵q是C中的最小元素，

∴命题对于n即n≤q-1均成立，由②可得: 故命题对n=q也成立，与④矛盾，

故假设不成立，即命题N对于一切自然数n均成立。▉ (注:"▉"表明命题证毕。)

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