【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《精心整理勾股定理复习资料》,欢迎阅读!
第十八章 勾股定理 复习
定理:经过证明被确认为正确的命题叫做定理。 1、勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是说在Rt△ABC中,设∠C=90°,∠C、∠A、∠B 所对的边分别为c、a、b,则c、a、b满足关系a²+b²=c²。
在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦。
注意:由于直角三角形的斜边最长,故运用勾股定理时,一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和,避免出现这样的错误:在△ABC中,∠B=90°,则a²+b²=c²。 2、勾股定理的证明:
勾股定理的证明方法很多,可以用测量计算,可以用代数式的变形,可以用几何证明,也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明,这是最常见的一种方法。验证如下:
现有四块直角边长为a、b,斜边长为c的直角三角形纸板,请从中取出若干块拼图,证明勾股定理。
证法1:∵S大正方形=4S三角形+S小正方形
∴c²=4×2ab+(b−a)² ∴c²=a²+b²
证法2:∵S梯形=2S小三角形+S大三角形
∴2 a+b 2=2×2ab+2c² ∴a²+b²=c²
证法3:∵S大正方形=4S三角形+S小正方形
∴ a+b 2=4×2ab+c² ∴a²+b²=c²
3、勾股定理的作用:勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,其作用有:
(1)已知直角三角形的任两边,求第三边问题; (2)证明三角形中的某些线段的平方关系;
1
1
1
1
1
a
c c b
a
b
(3)作长为无理数的线段.
注意:若已知直角三角形的两边求第三边时,先确定是直角边还是斜边。若求直角边,则利用勾股定理的变形式a²=c²−b²= c+b (c−b)或b²=c²−a²= c+a (c−a);若求斜边,则利用c²=a²+b²;若不能确定则分以上两种情况讨论。 4、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。 根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤: (1)确定最大边;
(2)算出最大边的平方,另两边的平方和;
(3)比较最大边的平方与另两边的平方和,如果相等则此三角形是直角三角形。不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。 5、勾股数:
满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数。
探索神秘的勾股数组:若a、b、c是一组勾股数,则ka、kb、kc(k为正整数)也是勾股数,下列各组数都是常见勾股数:{3k,4k,5k}、{5k,12k,13k}、{8k,15k,17k}、{7k,24k,25k}、{9k,40k,41k}等.以下几个公式都可以产生勾股数: ①设n为正整数,且n>1,令a=2n,b=n²−1,c=n²+1,则有a²+b²=c²; ②设n为正整数,令a=2n+1,b=2n²+2n,c=2n²+2n+1,则有a²+b²=c²; ③设m、n为正整数,且m>n,令a=m²−n²,b=2mn,c=m²+n²,则有a²+b²=c²;
④设m、n、k为正整数,且m>n,令a=k m2−n2 ,b=2kmn,c=k(m²+n²),则有a²+b²=c². 6、互逆命题:
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设,那么这两个命题互为逆命题,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的逆命题。 7、互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
注意:每一个命题都有逆命题,但一个定理不一定有逆定理.
本文来源:https://www.wddqxz.cn/ae187609bfd126fff705cc1755270722192e5993.html