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如何理解方差和标准差的意义？ 随机变量X的方差为:D(X)E(X-E(X))
2
,方差的平方根D(X)称为标准差，它描述
随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。
在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)E(X)E(Y)或E(X)与E(Y)比较接近时，我们常用D(X)与D(Y)来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。
随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？
1. 随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差D(X)刻画的是随
机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度。方差D(X)大，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度大，随机变量X取值在数学期望附近分散；方差D(X)小，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集中。
2. 方差D(X)E(X-E(X))2是用数学期望来定义的，方差D(X)是随机变量X函数
(X-E(X))的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到：
2
（1） 若X为离散型，则有（2.3） （2） 若X为连续型，则有（2.4）
3. 在实际问题中，我们经常用D(X)E(X-E(X))
2
来计算方差。由此可以得到：随机变
量X与数学期望E(X)不存在，则方差一定不存在。 4. 若随机变量X与数学期望E(X)存在，方差也可能不存在。
切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？
切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：P(XE(X))1
P(XE(X))1
D(X)
D(X)
D(X)
2
或
2
。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于
。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用2
切比雪夫不等式估计概率。
它的应用有以下几个方面：
（1） 已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的
概率。
（2） 已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需
估计区间的长度。 （3） 对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。 （4） 它是推导大数定律和其他定理的依据。
解题的具体步骤：
首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)； 其次，确定0的值，
最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/adce3a87de3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b087.html
2022-12-30
