自然对数e

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它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值

有关概念

自然对数的底数e是由一个重要极限给出的。我们定义：当n趋于无限时，

.



e是一个无限不循环小数，其值约等于2.7…，它是一个超越数。

超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数

超越数主要只有自然常数(e)和圆周率(π)。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。

融合e，π的最完美的欧拉公式



，也是超越数e的数学价值的最高体现。

自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。 自然常数的来法比圆周率简单多了。它就是当 时函数

值的极限。 即： 。

同时，它也等于 。

自然常数经常在公式中做对数的底。比如，对指数函数和对数函数求导时，就要使用自然常数。函数

。函数 。

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的导数为

的导数为





。注意，








自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有 数定理，由高斯发现。

个。

在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，这个定理会越来越精确。这个定理叫素

此外自然常数还有别的用处。比如解题。请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。）此时，便要用到自然常数。这需要使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为100/37，所以a的b次方的最大值约为“94740617+167818+32.652”。

e是极为常用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。



e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：log(ab) = loga + logb。

但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：

1．所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。

2．那么只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看）。

3．这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1。换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。

4．为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ，X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算

（1-1/X）1 = P1 ， （1-1/X）2 = P2 ， ……

那么对数表上就可以写上P1的对数值是1，P2的对数值是2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。

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