球体积、表面积公式推导过程

2022-09-07 18:05:22   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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球体积公式V



43



R推导过程

3





图一 图二



对于一个球体,直接求它的体积是相当困难的。我们可以利用转化的思想,在球体内

放一些大小不同,高度相同的圆柱。(如图一)当每个圆柱的高度越来越小时,所有圆柱的体积和就会越来越接近于球的体积。当圆柱的高无限趋于0时,所有圆柱的体积和就是球的体积。(如图二)

按照这个思路,我们来求球的体积。

设球的体积为V,半径为R,每个圆柱的高为a则半个球中有nn



R



,nZ个圆柱。 a

图三中的圆为球的一个轴截面,其中的矩形是圆柱

的轴截面。圆的圆心为原点,所以这个圆的方程式为

x

2



y

2



y轴左侧,从左到右圆柱的序号(用R

2

b表示)分别为123n,则圆柱底面圆的半径

r

b



R

2



b1aR(注意:r

2

1

0

图三

V2

V1V2V3...V

n



r1a

2

a

r

r2a

2

2

2

r3a...r

2n2

2

21



r2r3...



r

2n

a

2

a0R



aR

2

R

2

2aR

2

...2

R

2

n1aR



2

2



a2aR





2n1aR4aR4...n1aaa

2

aa

2



2Ra4R4a...2n1R





2R12..n1

a1

2

n1a



2

2

2

2

...

n1



2








aa

Ra

2

nn1an1n2n12R26a2n1nn1R6





2

n代入上式,得



22

V2



a

2

2

Ra

R

a21

RaR

a6





RR

3

2Ra

aRR

62





2

23



3

R

3

6

R

2

a



R

2

a

R

2

aR6

a

2



R

2343

aR

Ra

62

a无限趋于0

V

2



RR

3



V

3

球表面积公式S

4

R推导过程

2

我们可以把球表面分成n个面积相等的网格。n趋于无穷大时,每个网格与球心组

成的几何体便可看作一个锥体,且锥体的高为球的半径。

设球的体积为V,表面积为S,半径为R

VnS

13RSn

3VR43



V

R

2

3

S4

R






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