常用导数公式

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常用导数公式

1.y=c(c为常数) y=0 2.y=x^n y=nx^(n-1) 3.y=a^x y=a^xlna y=e^x y=e^x 4.y=logax y=logae/x y=lnx y=1/x 5.y=sinx y=cosx 6.y=cosx y=-sinx 7.y=tanx y=1/cos^2x 8.y=cotx y=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y=1/1-x^2 10.y=arccosx y=-1/1-x^2 11.y=arctanx y=1/1+x^2 12.y=arccotx y=-1/1+x^2

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1.y=f[g(x)],y=f[g(x)]g(x)『f[g(x)]中g(x〕看作整个变量，而g(x)中把x看作变量』

2.y=u/v,y=uv-uv/v^2

3.y=f(x)的反函数是x=g(y〕，那么有y=1/x

证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x0⊿y/⊿x=0。



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2.这个的推导暂且不证，由于假设依据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般状况。在得到 y=e^x y=e^x和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导赐予证明。 3.y=a^x,

⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1) ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

假设直接令⊿x0，是不能导出导函数的，必需设一个挂念的函数＝a^⊿x-1通过换元进展计算。由设的挂念函数可以知道：⊿x=loga(1+)。 所以(a^⊿x-1)/⊿x＝/loga(1+)=1/loga(1+)^1/

明显，当⊿x0时，也是趋向于0的。而lim0(1+)^1/=e,所以lim01/loga(1+)^1/=1/logae=lna。

把这个结果代入lim⊿x0⊿y/⊿x=lim⊿x0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x0⊿y/⊿x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y=e^x。 4.y=logax

⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

由于当⊿x0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于，所以lim⊿x0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有 lim⊿x0⊿y/⊿x＝logae/x。

可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。

这时可以进展y=x^n y=nx^(n-1)的推导了。由于y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,


所以y=e^nlnx(nlnx)=x^nn/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx

⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2) 所以lim⊿x0⊿y/⊿x=lim⊿x0cos(x+⊿x/2)lim⊿x0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx 12.y=arccotx x=coty x=-1/sin^2y

y=1/x=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他6.类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。 7.y=tanx=sinx/cosx

y=[(sinx)cosx-sinx(cos)]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8.y=cotx=cosx/sinx

y=[(cosx)sinx-cosx(sinx)]/sin^2x=-1/sin^2x 9.y=arcsinx x=siny x=cosy

y=1/x=1/cosy=1/1-sin^2y=1/1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x=-siny

y=1/x=-1/siny=-1/1-cos^2y=-1/1-x^2 11.y=arctanx x=tany x=1/cos^2y

y=1/x=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2



较冗杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v,y=u土v 5.y=uv,y=uv+uv 均能较快捷地求得结果。

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