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数学随笔 中学数学文摘 2006年第2期
概率 频率 比率
西安 侯新昌 孙淑娥
最近有机会拜读《中学数学教学参考》文[1]、[2]关于高中新教材中“概率”部分的论述，很受启发。但美中不足的是，文[1]将事件A的概率简单地理解为频率的极限，即
P(A)lim
n
n
n
。甚至建议在概率之前加入数列极限的知识，从而利用数列极限来定义概率。
笔者认为这是一知识性错误，有必要在此给予阐述，与同行商榷。
1 概率是频率的稳定值而非极限
1.1 概率是随机事件A发生可能性大小的度量，是客观存在的。随机试验是在相同条件下可独立重复进行的。在独立重复进行n次实验中，事件A发生的次数n称为A的频数，而
nn
称为在n次独立重复试验中事件A发生的频率。当试验次数n越来越大时，A的频数n一般也随之增大，但n与n之间并无一个确定性的函数关系（在n次实验中，A发生的次数
n可能为0，1，2，，n）。因此频率
nn
只是随着n的增大，绝大多数都更接近某一定
值P（P称为频率的稳定值）。但这并不排除偶尔会有的表1，当n24000时，n12012，
nn
相对远离了定值P。如教材P.120
n
n
0.5005；而当n72088时，n36124，
n
n
0.5011。n增大了，频率却相对远离了0.5。这就是将概率称为频率的稳定值而不是
极限值。而频率则是概率的近似。 1.2 试想，若要认为P(A)lim
n
n
n
=P，即对任给的0，总存在充分大的正整数N，使
得当nN时，都有
n
n
p成立。
而频数n是n次独立重复试验中A发生的次数，在任意大的n次独立重复试验中，A是有可能发生n次的（nn），也可能一次都不发生（n0），从而频率
n
n
1（或
nn
0），所以对给定任意小的0，不论N有多大，也不能得到当nN时，都有
p成立。
n
n
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数学随笔 中学数学文摘 2006年第2期
1.3 频数n不是n的确定性函数，所以频率
nn
也就不是以自然数n为自变量的函数（即数
列）的通项，当然不能对频率像数列那样求极限。 1.4 那么频率是以怎样的形式接近概率呢？
贝努利（Bemoulli）大数学定律告诉我们：在n重贝努利试验中，事件A发生的次数为n， 又A在每次试验中发生的概率为P，则对给定任意小的0，有limP(
n
n
n
p)1。
上述定理可通俗地理解为：当n充分大时，“频率
nn
与概率P任意接近”的概率为1。
但要注意，事件的概率为1，并不等于该事件就是必然事件。 2 概率与比率
2．1 在日常生活实践或学习中，常遇到类似于“有500件产品，它的次品率为1%”这样的说法，此信意告诉我们：这批产品的100件中次品占有1件，也即在这批产品中任意取1件，它是次品的概率为1%，由此能否认为次品的概率就是次品在产吕中所占的比率呢？当然不能！这种认为只在任取产品数为1件时成立。若从这批产品中任取两件、三件等，它是次品的概率还是1%吗？
所以，比率是一个相对静态的概念，而概率则为相对动态的概念。
2．2 某产品的次品率为1%，现每次从中任取1件，有放回的重复抽取100次，那么是否一定就有一次抽到次品？当然不一定！而抽到次品的次数可能为0，1，2，，100。那么这个1%在此又有什么意义呢？
这要用随机变量的“数学期望（均值）”给以解释。
设某产品的次品数为P，现每次从中任取1件，有放回的抽取n次，那么抽到次品的次数可能为0，1，2，，n。
kknk 若用表示“抽到的次品数”，则P(k)Cnp(1p)(k0,1,2,,n)。
的数学期望（均值）Enp。
在此，当p1%，n100时，E1。即当产品的次品率为1%，若每次任取1件，有放回地抽取100次，从随机变量“平均”的意义上讲抽到的次品数为np1，若有放回地抽取1000次，从随机变量“平均”的意义上讲抽到的次品数为np10，这就是1%的意义：在n次抽取中，抽到的次品数从随机变量“平均”的意义上讲占抽取次数的1%。
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2022-12-15
