平均变化率与瞬时变化率概念

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平均变化率与瞬时变化率概念

1．已知函数f(x)=x2x的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),则

y

 ． x

2．质点运动规律为st23，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 3、求yx22在点x=1处的导数. 4、求函数y

2

x在x1处的导数

4、一质点运动的方程为s83t。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2）求质点在t=1时的瞬时速度

【课堂练习】

1、已知函数yf(x)，下列说法错误的是（ ） A、yf(x0x)f(x0)叫函数增量 B、

yf(x0x)f(x0)

叫函数在[x0,x0x]上的平均变化率 xx

C、f(x)在点x0处的导数记为y D、f(x)在点x0处的导数记为f(x0) 2、若质点A按规律s2t运动，则在t3秒的瞬时速度为（ ） A、6 B、18 C、54 D、81 3、设函数f(x)可导，则lim

2

x0

f(1x)f(1)

=（ ）

3x

A、f(1) B、

1

f(1) C、不存在 D、以上都不对 3

4、函数yx

1

在x1处的导数是______________ x

12

gt，(s的单位是m,t的单位是s)，求： 2

5、已知自由下落物体的运动方程是s

（1）物体在t0到t0t这段时间内的平均速度； （2）物体在t0时的瞬时速度； （3）物体在t0=2s到t12.1s这段时间内的平均速度； （4）物体在t2s时的瞬时速度。


平均变化率达标检测：

1． 设函数yfx，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为（ ） A

fx0x B fx0x C fx0x D fx0xfx0

2

2． 一质点运动的方程为s12t，则在一段时间1,2内的平均速度为（ ） A －4 B －8 C 6 D －6

3． 在曲线yx21的图象上取一点（1,2）及附近一点1x,2y，则

y

为（ ） x

A x

1112 B x2 C x2 D 2x xxx

4．函数yfx的平均变化率的物理意义是指把yfx看成物体运动方程时，在区间t1,t2内的 .

5．函数yfx的平均变化率的几何意义是指函数yfx图象上两点P1x1,fx1、P2x2,fx2连线的

2

6．函数y3x2x8在x13处有增量x0.5，则fx在x1到x1x上的平均变化率是

7．函数yx2在xx0附近的平均变化率是

8.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.


导数的几何意义：

【例】已知曲线y

134x， 33

（1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3） 求斜率为4的曲线的切线方程。

分析：切点坐标切线斜率点斜式求切线方程 解答：（1）P(2,4)在曲线y

134

x上，且yx2 33

∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x2=4;

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

13414

x与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，x03），则切线的斜率3333

1423422

（x-x0），即yx0xx0 ky|xx0x02，∴切线方程为y（x03）=x0

3333234323222

∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x0x0，即x03x040，∴x0x04x040，

33

（2）设曲线y∴（x0+1）(x0-2)2=0 解得x0=-1或x0=2

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. （3）设切点为（x0,y0）

则切线的斜率为k=x02=4, x0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3） ∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即4x-y-4=0和12x-3y+20=0

注：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决。

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