利用十字相乘法进行因式分解与解方程

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利用十字相乘法进行因式分解与解方程



1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.（步骤：（1）竖分二次项和常数项；（2）交叉相乘，再相加，等于一次项；（3）横写分解因式项）

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式.（2）用十字相乘法来解一元二次方程.

3、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

十字相乘法解题实例：

1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1。当-12分成-2×6时,才符合本题 1 -2 1 ╳ 6

所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）

例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题 1 2 5 ╳ -4

所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0

分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5. 1 -3 1 ╳ -5

所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5

例4、解方程 6x²-5x-25=0

分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1. 2 -5 3 ╳ 5

所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3

2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式


分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y ,2y.9y ,3y.6y 2 -9y 7 ╳ -2y

所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)

例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式 10x²-27xy-28y²-x+25y-3

=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1

=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3

=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] =（2x -7y +1）（5x +4y -3）

说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1）,再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]

例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0 1 -b 2 ╳ +b

x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -（2a+b） 1 ╳ -（a-b）

[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 所以 x1=2a+b， x2=a-b

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