勾股数的有趣特征

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勾股数的有趣特征

刘 昱

在学习和运用勾股定理时，如果深入了解一下勾股数的一些特征，不仅能十分方便地熟记勾股弦的相关数值并运用到三角和几何里，而且使我们对勾股数的认识和掌握更加方便、易记。

我们知道，在一个直角三角形中，斜边为弦，两直角边中短者为勾，长者为股。它们满足勾2+股2=弦2，当勾，股，弦都是整数时，比如当勾=5，股=12，弦=13时，我们称之为一组“勾股数”或“毕达哥拉斯数”。大家常说的“勾三股四弦五”就是一组勾股数。我们可以举出无穷多组的勾股数来，如：

62+82=102 72+242=252 82+152=172

92+402=412 172+1442=1452 202+212=292…….、

大家是否想到这些勾股数尚有不少有趣的特征呢。

特征1：任意一组勾股数中，必有一个数是3的倍数；必有一个数是4的倍数；必有一个数是5的倍数。

如:6，8，10是一组勾股数，其中6是3的倍数，8是4的倍数，10是5的倍数。又如9，40，41是一组勾股数，其中9是3的倍数，40既是4的倍数也是5的倍数。

特征2：在所有的勾股数中，其中没有一组的三个数都是奇数的。


下面我们采用“反证法”来证明。

假设一组勾股数都是奇数为：2X1+1，2X2+1，2X3+1（X1 ，X2 ，X3 皆为整数）

它们分别平方后得到：（2X1+1）=4 X1+4 X1 +1，（2X2+1）=4 X2+4 X2 +1，

22 22

（2X3+1）2=4 X32 +4 X3 +1

把这三个数中的任意两个加起来，如：（2X1+1）+（2X2+1） =2（2X1+2X2+2X1 +2 X2+1） 其和是一个偶数，而（2X3+1）2 却是一个奇数，二者显然不等。

222 2

由此可见三个都是奇数的勾股数是不存在的。

特征3 ：若a，b，c是一组勾股数，则ka，kb，kc(k是任意自然数)也是一组勾股数。

这个特征的证明则更简单：由a2+b2=c2,有（ka）2+(kb)2=k2(a2+b2)=(kc)2。

从而得出（ka）2+(kb)2= (kc)2。

这个特征告诉我们，只要知道一组勾股数，便可得到无数多组的勾股数。尽管如此，我们却只能得到部分勾股数，其余的勾股数是否能用简单的代数公式给出呢？为此，我们再将一些勾股数进行归类考察：

3，4，5 7，24，25 5，12，13 9，40，41

6，8，10 10，24，26 8，15，17 12，35，37

从中可以发现这些勾股数的组成规律，即

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