选修第11课变换的复合、矩阵的乘法与逆矩阵

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高考直通车·2014届高考数学一轮复习备课手册

第11课变换的复合、矩阵的乘法与逆矩阵

一、考纲要求

1、理解二阶矩阵与二阶矩阵的乘法以及它表示的几何意义；理解矩阵的简单性质； 2、理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件。理解逆矩阵的唯一性和(AB)

1

A1B1等简单

性质，并了解其在变换中的意义；

3、会从几何变换的角度求出 AB的逆矩阵；会用二阶行列式求逆矩阵； 4、了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义；

5、会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组，理解二元线性方程组解的存在性、唯一性．二、知识梳理

1．已知梯形ABCD,其中A(0，0),B(3，0),C(1，2),D(2，2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90，则连续两次变换所对应的变换矩阵M=___________, 它的几何意义是 2．A

12

的逆矩阵是，二阶矩阵存在逆矩阵的条件是 34

3．逆矩阵的求法通常有三种方法：，， 4．①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)=

1

②对于二阶可逆矩阵A，若ABAC，则矩阵B和C之间的关系是 5．关于二元一次方程组

abxmaxbym

，它的矩阵方程为=． cdyncxdyn

abxm

记A，Xy，Bn，即有AXB，所以X ．

cd

三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成3道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。课堂上让学生上黑板板演，旨在复习巩固基础知识，将知识问题化． 2、诊断练习点评

1242

题1、设A，Bk7，若ABBA，则k=

34

【引导分析与精讲建议】熟练掌握二阶矩阵的乘法法则是解决后继问题的前提；提问：矩阵满足交换律吗？

4121

BA题2、已知矩阵A =，B =31，求满足AX=B的二阶矩阵X．

43

【引导分析与精讲建议】提出问题：此题常规解法是什么？可以请学生回答，总结.方法1：设出二阶矩阵X，用待定系数法求解；方法2 ：AXB，所以XAB，两次左乘A的逆矩阵．

题3、已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45，再作关于x轴反射变换，求这个



1

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变换的逆变换的矩阵．

【教学处理】学生板演，学生点评,熟练矩阵乘法运算。

【教师提问】提问1：这两次变换所对应的矩阵分别是什么，能否用一个变换矩阵表示？提问2：复合变换MN变换顺序是什么，其逆矩阵怎么求？

【引导分析与精讲建议】了解六种初等变换，及所对应的矩阵，理解二阶矩阵的乘法的几何意义． 3、要点归纳

（1）逆矩阵的求法通常有三种方法：一是利用待定系数法，即定义法；二是利用行列式法，即公式法；三是从几何变换的角度求解。要求熟练掌握二阶矩阵的逆矩阵的各种求法．（2）总结六种常见变换是否存在逆变换，如有，逆矩阵是什么．（3）矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律．四、范例导析

例1、根据下列条件，求矩阵MN的逆矩阵．

301

（1）M，00101010

1；（2）M，． 

01012

【教学处理】学生板演，教师点评，学生交流（必要时可借助实物投影，有针对性投影几位学生的典型解

答过程）

【引导分析与精讲建议】教师分析时提出问题：求AB的逆矩阵，有几种求法？请学生从不同的角度思考，用不同的方法求解。一种解法是先求出AB，再将AB得逆矩阵设出求解；另一种解法是利用

(AB)1B1A1把问题转化为求A1和B1，特别当A和B是常见变换矩阵是，用几何法求A1和B1比

较简单，最后得(AB)．

cos例2 若点A（2，2）在矩阵M

sin

sin

对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的

cos

1

逆矩阵．

【引导分析与精讲建议】矩阵M对应的变换表示的几何意义是什么？由A到B旋转了多少度？例３在平面直角坐标系xoy中，已知点A0,0,B2,0,C2,1,设k为非零实数，矩阵M

k0

，01

01

N，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1,A1B1C1的面积是

10

ABC面积的2倍，求k的值．

【教学处理】学生板演，学生点评,巩固矩阵乘法运算。五、解题反思

1、判断一个矩阵是否有逆矩阵方法一：看其对应变换是否有逆变换；方法二：看对应的行列式是否为零，若对应行列式不为零，则存在逆矩阵。如例3的处理，即可设出矩阵M的元素，通过矩阵乘法与矩阵相等知识来解决，但总觉得没有用逆矩阵知识处理简便。

2、两个矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即，对于二阶矩阵A,B,C满足(AB)CA(BC),但AB不一定等于BA,且ABAC 不一定推出BC

3、在复合变换MN中，变换顺序是先进行右边的矩阵N变换，再进行左边的矩阵M变换，注意变换顺序不能颠倒。

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4、从解析几何的角度去看待求矩阵变换下的曲线方程，熟练掌握求曲线方程的解题流程，是解决矩阵问题的关键。

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