分式方程的增根与无解

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例谈分式方程的增根与无解

泰州市智堡中学 杨红英

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．

分式方程有增根，指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值;而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形:（一）原方程化去分母后的整式方程无解；(二)原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下:

例1 解方程

24x3

． ① 2

x2x4x2

解:方程两边都乘以（x+２)(x－２)，得2(x+2)-4ｘ=3（ｘ-2)．② 解这个方程，得x＝2.

经检验:当ｘ=2时，原方程无意义,所以x＝2是原方程的增根． 所以原方程无解．

【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠２且x≠－２．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的ｘ值恰好使最简公分母为零时,x的值就是增根．本题中方程②的解是ｘ＝2，恰好使公分母为零,所以x=2是原方程的增根,原方程无解.

例2 解方程

x13x

2. x22x

解：去分母后化为x-1=3－ｘ＋2(2+x)． 整理得0x＝８．

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因为此方程无解,所以原分式方程无解．

【说明】此方程化为整式方程后,本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见,分式方程无解不一定就是产生增根.

例３(２０07湖北荆门）若方程解:原方程可化为

x3m

=无解，则ｍ=——————. x22x

x3m

＝-.

x2x2

方程两边都乘以x－２，得x－3=－m． 解这个方程,得x=3-m．

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以２=3-ｍ，解得m＝1． 故当ｍ＝1时，原方程无解.

【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程,而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解,随着以后所学知识的加深,同学们便会明白其中的道理，此处不再举例.

2ax3

例4当a为何值时,关于x的方程①会产生增根? 2

x2x4x2

解：方程两边都乘以(x+2）（ｘ-2）,得2(x+2)+ax＝3(x－2） 整理得(a-１）x＝-10 ②

若原分式方程有增根，则x=2或-2是方程②的根． 把x＝2或-2代入方程②中，解得，a=－４或6．

【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根,最后将增根代入转化得到的整式方程中,求出原方程中所含字母的值．

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