梯形面积公式的不同推导方式

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梯形面积公式的不同推导方式



课本中介绍梯形面积公式推导的方法，通常只有一种方法，那就是用两个相同梯形拼成一个平行四边形，然后用这个平行四边形的面积推得其中梯形的面积。这种方法很简洁，实际上梯形面积公式推导还有其它方法，现介绍如下：

方法一：把梯形分成两个三角形，分别算面积，然后计算它们的和。

把梯形分成两个三角形，如图所示，一个在左下，一个在右上。 右上三角形的面积 = 上底×高÷2 左下三角形的面积 = 下底×高÷2

所以 梯形的面积 = 上底×高÷2＋下底×高÷2 = （上底＋下底）×高÷2 因此 梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2

方法二：如图所示，分别沿梯形两腰中点向下底作垂线，与腰、下底正好围成两个直角三角形，把这两个三角形分别按逆时针或顺时针旋转1800角，使得原来的梯形被拼组成一个长方形。梯形的上下底总长度，正好等于现在长方

形两个长的总长度，即长方形的长=（上底＋下底）÷2。长方形的宽正好等于梯形的高。

长方形的面积 = 长×宽

所以 梯形的面积 =[（上底＋下底）÷2 ]×高 =（上底＋下底）×高÷2


因此 梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2

方法三：如图所示，把梯形切割成两块，一块是平行四边形，一块是三角形。



平行四边形的底就是原梯形的上底，三角形的底是梯形的下底与上底之差，而平行四边形和三角形的高都等于梯形的高。

所以 梯形的面积

= 平行四边形的面积＋三角形的面积 = 上底×高＋（下底－上底）×高÷2

=（2×上底）×高÷2＋（下底－上底）×高÷2 =（2×上底＋下底－上底）×高÷2 =（上底＋下底）×高÷2

因此 梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2

方法四：如图所示，把梯形的缺角补上，正好补成一个长方形，则：

长方形的面积=下底×高

而补上的两个小三角形的总面积为： 小三角形面积和=（下底－上底）×高÷2 所以梯形面积

= 长方形的面积－小三角形面积和 =下底×高－（下底－上底）×高÷2 = [下底－（下底－上底）÷2] ×高 = [2×下底－（下底－上底）] ×高÷2 =（上底＋下底）×高÷2

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