周长为定值的三角形中等边三角形面积最大.doc

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在周长为 2p (常数) 的一切三角形中，等边三角形面积最大。 证明一：设三角形的三边长为x, y， z, 则面积为S=为简化计算，取目标函数：

u=f(x,y,z)=2lnS=lnp+ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)

p(p-x)(p-y)(p-z)

而约束条件为f(x,y,z)=x+y+z-2p=0 取

F(x,y,z,l)=f(x,y,z)+lf(x,y,z)

=lnp+ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)+l(x+y+z-2p)

骣2p琪禳¢=-(p-x)+l=0Fx

骣x0琪3镲-1

镲琪¢=-(p-y)+l=0Fy2p琪令，睚 得到唯一驻点：y=琪0琪 -1

3¢=-(p-z)+l=0Fz镲琪琪z桫0镲2p琪=x+y+z-2p=0îF¢þl琪桫3

-1

\Smax=



证明二：

ppp12p()()()=p 33333

设三角形的三个边长分别是X，Y，Z.面积是.由海伦公式，有 =P(PX)(PY)(PZ)

已知X+Y+Z=2p或Z=2P-X-Y，将它代入(8)式之中，有 =P(PX)(PY)(XYP)

因为三角形的每边长是正数而且小于半周长p，所以的定义域 D=

已知的稳定点与

X,Y|0XP,0YP,XYP

2

P

的稳定点相同. 为计算简便，求

=

2

P

=（P-X）（P-Y）（X+Y-P）的稳定点.解方程组,

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'xx,y(py)(xyp)(px)(py)(py)(2p2xy)0

'

yx,y(px)(xyp)(px)(py)(px)(2p2yx)0

2p2p

,在区域D内有唯一稳定点求二阶偏导数. 33

""

xx(x,y)2(py), xyx,y2(xy)3p,

""yy(x,y)2(px)

""222

(x,y)xx(x,y)" xyyy(x,y)4x4xy4y8px8py5p



2

p222p2p

,0, A=-p0从而，稳定 在稳定点，△=

3333

2p2p2p2p

,,点是函数极大点。由题意，在稳定点必取到最大值. 故，3333

2P2P2P

，Y=时，Z=2P-X-Y=即三角形三边长的和为定数时，等边三角333

形的面积最大. 当X=

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