动能定理和能量守恒

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一、动能定理的应用技巧

1.一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体所做的总功具有等量代换关系.若ΔEk＞0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功；若ΔEk＜0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值；若ΔEk=0，表示合外力对物体所做的功为0,反之亦然.这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法.

2.动能定理中涉及的物理量有F、s、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理.由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始、末两状态的动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便.

3.动能定理解题的基本思路

(1)选择研究对象，明确它的运动过程.

(2)分析研究的受力情况和各个力的做功情况，然后求出合外力的总功. (3)选择初、末状态及参照系.

(4)求出初、末状态的动能Ek1、Ek2.

(5)由动能定理列方程及其它必要的方程，进行求解. 【例1】如图1所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功.

图1

练习：电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体.绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g取10 m/s2）



二、多物体多过程动能定理的应用技巧

如果一个系统有两个或两个以上的物体,我们称为多物体系统.一个物体同时参与两个或两个以上的运动过程,我们称为多过程问题.对于多物体多过程问题,我们可以有动能定理解决.解题时要注意:多过程能整体考虑最好对全过程列动能定理方程,不能整体考虑,则要分开对每个过程列方程.多个物体能看作一个整体最好对整体列动能定理方程,不能看作整体,则要分开对每个物体列动能定理方程.

【例2】总质量为M的列车，沿平直轨道匀速前进.末节车厢质量为m，在行驶中途脱钩，司机发现后关闭发动机时，机车已经驶了L，设运动阻力与质量成正比，机车发动机关闭前牵引力是恒定的，则两部分停止运动时，它们之间的距离是多少?



练习1：.物体由高出地面H高处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面进入沙坑h停止(如图5-3-4所示).求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？

H



h

图2




练习2：.如图5-3-5所示，物体沿一曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑高度为5m，若物体的质量为lkg，到B点时的速度为6m/s，则在下滑过程中，物体克服阻力所做的功为多少?(g取10m/s2)

图3



练习3：如图4所示，质量为m的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光

滑的定滑轮由地面以速度v0向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此 过程中人所做的功 为( D )

A．mv02／2 B．mv02 C．2mv02／3 D．3mv02／8

图4 练习4：如图5所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为S0，以初速度v0沿斜面上滑，

滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

V0

S0

P



图5



三、机械能守恒定律的条件和机械能守恒定律的常用数学表达式

1. 守恒条件：只有重力或弹力做功，只发生动能和势能的转化.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，如果只是动能和势能的转化，而没有其它形式的能发生转化，则机械能守恒，如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不会发生变化.

2.常用数学表达式:

第一种：Ek1+EP1=EK2+EP2从守恒的角度表明物体运动过程中，初状态和末状态机械能相等 第二种：△Ek =-△EP 从转化的角度表明动能的增加量等于势能减小量

第三种：△E1=-△E2 从转移的角度表明物体1的机械能增加量等于物体2的机械能的减少量

【例3】如图6所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放，让其自由摆下，不及空气阻力，重物在摆向最低点的位置的过程中（ ） A．重物重力势能减小 B．重物重力势能与动能之和增大 C．重物的机械能不变 D. 重物的机械能减少 图6

四、应用机械能守恒定律解题的基本步骤

1.根据题意，选取研究对象（物体或相互作用的物体系）.


2.分析研究对象在运动过程中所受各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件．

3.若符合定律成立的条件，先要选取合适的零势能的参考平面，确定研究对象在运动过程的初、末状态的机械能值．

4.根据机械能守恒定律列方程，并代人数值求解． 【例4】如图7使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点B上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点A？



图7



五、应用机械能守恒定律解题

可以只考虑物体运动的初状态和末状态，不必考虑运动过程.

1应用机械能守恒定律解题的思路与方法

(1)选择研究对象——物体或物体系

(2)对研究对象所经历的过程，进行受力分析，做功情况分析，判断机械能是否守恒 (3)选择初、末状态及参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能 (4)根据机械能守恒定律列方程或方程组 (5)求解、检查、作答

2.机械能守恒定律与动能定理的比较

机械能守恒定律和动能定理是本章的两个重点内容，也是力学中的两个基本规律，在物理学中占有重要的地位，两者既有区别也有相同之处.

(1)相同点：都是从功和能量的角度来研究物体动力学问题. (2)不同点：

①解题范围不同，动能定理的范围相对来说要大些.

②研究对象及角度不同，动能定理一般来说是研究单个物体在研究过程中合外力做功与动能的变化，而机械能守恒定律只要满足其成立条件，则只需找出系统初、末状态的机械能即可.

3.几种常见的功和能量转化的关系

(1)合外力对物体所做的功等于物体动能的变化：W合=EK2-EK1 此即动能定理. (2)只有重力（或弹力）做功时，物体的机械能守恒:E1=E2

(3)重力做功（或弹力做功）与重力势能的变化（或弹性势能的变化）的关系: WG=-△EP=EP1-EP2

(4)重力和弹簧弹力之外的其它外力对物体所做的功WF，等于物体机械能的变化，即 WF=△E=E2-E1

WF>0,机械能增加. WF<0,机械能减少.

六、机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用

对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中.

【例5】如图8所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有

光滑的固定转动轴.AO、BO的长分别为2L和L.开始时直角尺的AO部分处于水平A O

位置而B在O的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，

A

B 图8


图5-5-9

A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm.

三、机械能守恒定律在多个过程系统中的应用

多物体多过程系统的机械能守恒问题要特别注意机械能守恒定律成立的条件,守恒条件的表达很简单,但在一些具体问题中来判断还是有一定难度的,例如:一般情况下碰撞过程中的系统的机械能是不守恒的(弹性碰撞例外).此处常常容易出错.

【例6】质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图9所示.物块从钢板正对距离为3 x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动.已知物体质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O点的距离.



图9



练习1.如图10所示,总长L的光滑匀质铁链跨过一个光滑轻小滑轮，开始时底端相齐，

当略有扰动时，其一端下落，刚铁链刚脱离滑轮的瞬间速度为多少？

零势面

v 图10



练习2.如图11所示，跨过同一高度的滑轮的细线连着质量相同的物体A和B，A套

在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆高h=0.2m，开始时让连A的细线与水平杆夹角θ=530，由静止释放，在以后的过程中A能获得的最大速度是多少？

B

h

θ A

图11




练习3.如图12所示，光滑水平面AB与竖直面的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：

（1）弹簧对物块的弹力做的功；

（2）物块从B至C克服阻力所做的功；

（3）物块离开C点后落回水平面时动能的大小.

C





R

A

图12

B

在用落体法验证机械能守恒定律时，某同学按照正确的操作选得纸带如图13.其中O是起始点，A、B、C是打点计时器连续打下的3个点.该同学用毫米刻度尺测量O到A、B、C各点的距离,并记录在图中(单位cm). ⑴这三个数据中不符合有效数字读数要求的是_____ ,应记作_______cm.

⑵该同学用重锤在OB段的运动来验证机械能守恒，已知当地的重力加速度g=9.80m/s2，他用AC段的平均速度作为跟B点对应的物体的即时速度，则该段重锤重力势能的减少量为_______，而动能的增加量为________，(均保留3位有效数字，重锤质量用m表示).这样验证的系统误差总是使重力势能的减少量_______动能的增加量，原因是___________________________________________. ⑶另一位同学根据同一条纸带，同一组数据，也用重锤在OB段的运动来验证机械能守恒，不过他数了一下：从打点计时器打下的第一个点O数起，图中的B是打点计时器打下的第9个点.因此他用vB=gt计算跟B点对应的物体的即时速度，得到动能的增加量为________，这样验证时的系统误差总是使重力势能的减少量_______动能的增加量,原因是______________________________________.



图13






知识网络构

0

0

090力F做正功

0

功：WFlcos

90 力F不做功 90

0

180

0

力F做负功

基本概念

平均功率P

功率

Wt





瞬时功率 PFvcos 0 时 PFv

动能EK

12mv

2

0

机械能

重力势能 EPmgh 弹性势能 由k和x决定 12

12

动能定理

Wmv

22



mv1EK2EK1

2

（此式是标量式，研究对象一般是单一物体，

机械能

描叙的是力对空间的累积效果—使动能变化）





重力的功和弹力的功

重力（或弹力）做功和重力势能（或弹性势能） 变化的关系

机械能守恒定律

条件：只有重力或弹力做功

研究对象：系统（经常是由物体和地球组成） 公式：E2E1 或

12mv

22

mgh

2



12

mv1mgh1

2



优点：无须考虑相互作用的细节

①运用动能定理

变力做功问题

②WP恒t ③图象法


1.功能关系法:即应用“功是能量转化的量度”观点来解题. 【例1】(2005年江苏卷)如图1所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升.若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1、W2,滑块经B、C两点的动能分别为EKB、EKC,图中AB=BC,则一定有( ) A.W1＞W2 B.W1＜W2 C.EKB＞EKC D.EKB＜EKC

C B A

图1

F



2.守恒观点.

【例2】(2005年全国Ⅰ)如图2,质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成一个质量为(m1+m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的大小是多少?已知重力加速度为g.

A m1

B m2

图2





【例3】(2005全国卷Ⅱ)如图3所示,在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K,一条不可伸长的轻绳绕过K分别与物块A、B相连,A、B的质量分别为mA、mB.开始时系统处于静止状态.现用一水平恒力F拉物块A,使物块B上升.已知当B上升距离为时h,B的速度为v.求此过程中物块A克服摩擦力所做的功.重力加速度为g

F A

K

B

图3



练习1.(2008江苏)如图4所示，两光滑斜面的倾角分别为30O和45O，质量分别为2m和m的两个滑块用不可伸长的轻绳通过滑轮连接(不计滑轮的质量和摩擦)，分别置于两个斜面上并由静止释放；若交换两滑块位置，再由静止释放.则在上述两种情形中正确的有( BD ) A.质量为2m的滑块受到重力、绳的张力、沿斜面的下滑力和斜面的支持力的作用 B.质量为m的滑块均沿斜面向上运动

C.绳对质量为m滑块的拉力均大于该滑块对绳的拉力


D.系统在运动中机械能均守恒

练习2.(2008江苏)如图5所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放.当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是( AC ) A. θ=90 B. θ=45

C. b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小

D. b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大

。。



8.(2008江苏) 某同学利用如图6所示的实验装置验证机械能守恒定律,弧形轨道末端水平，离地面的高度为H.将钢球从轨道的不同高度h处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为s.

(1)若轨道完全光滑，s2与h的理论关系应满足s2= (用H、h表示)

(2)该同学经实验测量得到一组数据．如下表所示：

图5

图6



请在坐标纸上作出s2一h关系图

(3)对比实验结果与理论计算得到的s2—h关系

图线(图中已画出)．自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速率 (填“小于”或“大于”)理论值

(4)从s2一h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著，你认为造成上述偏差的可能

原因是 .

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