高中函数周期性总结

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函数的周期性常见结论归类

一.周期函数的定义：

设函数yf(x)的定义域为D，若存在常数T≠0，使得对一切x∈D，且x+T∈D时都有f(xT)f(x)，则称yf(x)为D上的周期函数，非零常数T叫这个函数的周期。 二.常见结论 (约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期Ta；

（2）f(xa)－f(x)，或f(xa)f(x－a)或f(xa)1(f(x)0)，或

f(x)

1f(x)

，则f(x)是以T2a为周期的周f(xa)1(f(x)0),则f(x)的周期T2a； f(xa)

1f(x)f(x)

期函数.

1f(x)

，则f(x)是以T4a为周期的周期函数.

1f(x)1f(x)

（4）f(xa)，则f(x)是以T4a为周期的周期函数.

1f(x)

（5）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)（a0），若f(x)为奇函数，则其周期为T4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T2a.

（6）若f(ax)f(ax)且f(x)是偶函数,则yf(x)是周期为4a的周期函数；若f(x) 是奇函数,则yf(x)是周期为2a的周期函数。 （7）若函数fx在R上满足f(ax)fax，且f(bx)fbx（其中ab），则函数yfx以2ab为周期.

（8）若函数fx在R上满足f(ax)fax，且f(bx)fbx（其中ab），则函数yfx以2ab为周期.

（9）若函数fx在R上满足f(ax)fax，且f(bx)fbx（其中ab），则函数yfx以4ab为周期.

1(10)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T3a； f(xa)

f(x1)f(x2)

(11)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，或f(xa)f(x－a)

1f(x1)f(x2)

则f(x)的周期T=4a；（证明方法：令x1x,x2a）

(13)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T6a.

（3）f(xa)

(14)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数f(x)a(xR)； (15)周期函数的定义域是无界的；

(16)若T为yf(x)的周期，则nT(nZ且n0)也是yf(x)的周期

f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，2ab是它的一个周期；

推论：若函数f(x)恒满足f(xa)f(xb)(ab)，则f(x)是周期函数，2ab是它的一个周期；

(17)若函数f(x)恒满足

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