2021年高考理科数学试题(全国卷Ⅰ)

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2021年全国普通高等学校招生考试

(新课标全国Ⅰ卷)理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．〖2018全国Ⅰ〗设z1i

1i

2i，则|z|( ) A．0 B．

1

2

C．1 D．

2



2．〖2018全国Ⅰ〗已知集合A{x|x2

x20}，则

R

A( )

A．{x|1x2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|x1}{x|x2} D．{x|x≤1}{x|x≥2}

3．〖2018全国Ⅰ〗某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：



建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是( ) A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．〖2018全国Ⅰ〗记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5( ) A．12

B．10

C．10

D．12



5．〖2018全国Ⅰ〗设函数f(x)x3

(a1)x2

ax，

若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的

切线方程为( ) A．y2x B．yx C．y2x D．

yx



6．〖2018全国Ⅰ〗在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB( )

A．34AB1

4AC B．14AB3

4AC

C．31

4AB4AC

D．14AB3

4

AC



7．〖2018全国Ⅰ〗某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )

A

B




A．217 B．25

C．3 D．2



8．〖2018全国Ⅰ〗设抛物线C：y2

4x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为2

3

的直线与C交于M，N两点，则FMFN=( )

A．5 B．6

C．7

D．8



9．〖2018全国Ⅰ〗已知函数

f(x)ex，x≤0，lnx，x0，

g(x)f(x)xa．若

g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )

A．[1,0) B．[0,) C．[1,) D．[1,)



10．〖2018全国Ⅰ〗如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边

AB，AC．ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，

黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，

p2，p3，则( )



A．p1p2 B．p1p3 C．p2p3 D．p1p2p3



11．〖2018全国Ⅰ〗已知双曲线C：x2

3

y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N．若OMN为直

角三角形，则|MN|=( ) A．

3

2

B．3 C．23 D．4



12．〖2018全国Ⅰ〗已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为( )

A．33

4 B．23

3 C．32

4

D．

32



二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．〖2018全国Ⅰ〗若x，y满足约束条件



x2y2≤0xy1≥0，则z3x2y的最大值为____． 

y≤0

14．〖2018全国Ⅰ〗记Sn为数列{an}的前n项和，若

Sn2an1，则S6____．



15．〖2018全国Ⅰ〗从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有____种．（用数字填写答案）

16．〖2018全国Ⅰ〗已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是____．

（一）必考题：60分． 17．〖2018全国Ⅰ〗（12分）

在平面四边形ABCD中，ADC90，

A45，AB2，BD5．

(1)求cosADB； (2)若DC22，求BC．



18．〖2018全国Ⅰ〗（12分）




如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，

BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF． (1)证明：平面PEF平面ABFD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

P

DC

EF

A

B





19．〖2018全国Ⅰ〗（12分）

x2

设椭圆C:2

y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB．

20．〖2018全国Ⅰ〗（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为

p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独

立．

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为

p的值．已知每件产品的

检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

21．〖2018全国Ⅰ〗（12分）

已知函数f(x)

1

x

xalnx． (1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：

f(x1)f(x2)

xa2．

1x2



22．〖2018全国Ⅰ〗[选修4–4：坐标系与参数方程]

（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为

yk|x|2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

22cos30．

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

23．〖2018全国Ⅰ〗[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知f(x)|x1||ax1|．

(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集； (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围．

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