中考数学复习指导：巧用矩形的对角线相等解题

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巧用矩形的对角线相等解题

矩形的对角线相等是矩形的性质之一，巧妙地利用这个性质，可以使某些问题得到简单而快捷的解决. 一、求最值

例1 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝3 ,AC＝4, P为边BC上一个动点， PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F，连结EF，求线段EF长度的最小值.

分析与解 连结AP. ∵ PE⊥AB, PF⊥AC, ∴ ∠BAC＝∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴ 四边形AEPF是矩形， ∴ EF＝AP. 当AP与BC垂直时，AP最小. Rt△ABC中，BC2＝AB2 + AC2＝32＋42＝25， ∴BC＝5. ∴S△ABC＝即

二、证明线段相等

例2 如图2，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥CD于点F, EG⊥AD于点G. 求证: BE＝FG.. 分析与解 连结ED.

∵ EG⊥AD , EF⊥CD, ∴ ∠EGD＝∠EFD＝∠ADC＝90°， ∴ 四边形GEFD是矩形， ∴ G.F＝DE，四边形ABCD是正方形，∴ BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°.在△BCE和

11

ABACBCAP,22

111212

345AP, ∴AP=，即EF的最小值为. 2255

BCCD,



△DCE中，∠BCE∠DCE, ∴ △BCE ≌△DCE，∴ BE＝ED，∴ BE＝GF.

ECEC,



三、证明定值


例3 如图3,扇形OAB的半径OA＝3,圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G，H在线段DE上且.DG＝GH=EH.

(1)求证: 四边形OGCH是平行四边形;

(2)当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中是否存在长度不变的线段? 若存在，

请出该线段的长度.

分析与解 (1)连结OC交ED于点F.

∵ CE⊥OA于点E,CD⊥OB于点D, ∴ ∠CEO＝∠CDO＝∠AOB＝90°, ∴ 四边形EODC是矩形， ∴ OC＝DE，且OF＝FC, EF＝FD. 又∵ EH＝GD， ∴ EF﹣EF＝FD﹣GD, 即FH＝FG , ∴ 四边形OGCH是平行四边形 (2) ∵ DG的长度不变，∴ DE＝OC＝3. 又∵ EH＝HG＝GD， ∴ DG＝

四、证明定理

例4 已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,点O是AC的中点，求证:OB＝证明 如图4，延长BO到D，使OD＝OB，连结AD、CD.

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DE31 33

1

AC. 2

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