导数与函数单调性的关系

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导数与函数单调性的关系

教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。若函数yf(x)在某个区间I上可导（对于区间端点，只要求它存在左（或右）导数）则称f(x)为区间I上的可导函数。那么区间I上的可导函数与函数单调性有什么关系呢？

一、

f'(x)0（或f'(x)0）是yf(x)在某个区间I上为增（或减）函数

的充分不必要条件

设函数yf(x)在某个区间I上可导，如果f'(x)0，则f(x)为增函数；如果（参考书目（1）第127页） f'(x)0，则f(x)为减函数。

但当yf(x)在某个区间I上为增（或减）函数时，并不能得到f'(x)0（或。例如：yf(x)x3在(,)上单调递增，但f'(x)3x20。即f'(x)0）

f'(x)0（或f'(x)0）是yf(x)在某个区间I上为增（或减）函数的充分不必要条

件。

二、若函数yf(x)为区间(a,b)内的可导函数，则f'(x)0（或f'(x)0）是

yf(x)在区间（a，b）内为增（或减）函数的必要不充分条件。

证明：设x为区间(a,b)内任一点，当x充分小时仍有xx(a,b)，由于yf(x)在区间（a，b）内为增函数，所以

f(xx)f(x)

0，即f'(x)0。

x

'

但f(x)0时，yf(x)在区间（a，b）内不一定为增函数。

0(xb)'

例如：f(x)则f(x)0但f(x)在(,)上不是增函数。 2

(xb)(xb)三、 函数yf(x)在某个区间I上可导，则yf(x)在区间I上为增（或减）

函数的充要条件为：

''

（1）对一切xI都有f(x)0（或f(x)0）

'

（2）使得f(x)0的点x不连续。 证明见参考书目（2）第187页。

值得注意的是单调函数可以在无穷多个点处使得f(x)0。

'


例如：f(x)sin(xk)2k x[k当xk，kZ时f'(x)0。



2

,k



2

) kZ在R上单调递增，

有了前面的充要条件，我们来解答2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学19题：已知函数f(x)ax33x2x1在R上单调递减，求实数a的取值范围。

解： f'(x)3ax26x1， 令f'(x)0在R上恒成立得解得a3，

a0



3612a0

a3

'

当且仅当1时f(x)0，

x3

实数a的取值范围是(,3]。



参考书目：

（1）《数学》第三册（选修Ⅱ） 人民教育出版社中学数学室 编著 人民教育出版社出版。 （2）《数学分析》上册 华东师范大学数学系 编 高等教育出版社出版。

本文来源：https://www.wddqxz.cn/9ed46aeb856a561252d36ff3.html