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中考数学探索题训练-找规律
一 序数与数据之间的规律
1. ）先找规律,再填数:
1111111111111111,,,,122342125633078456
............
111则+_______.2011201220112012
2、观察下面的变形规律:
11111111
＝1－； ＝－；＝－;……
21223233434
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想（2）证明你猜想的结论； （3）求和：
1
＝ ；
n(n1)
1111＋＋＋…＋ 。 12233420092010
3. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
① 1 × 3 — 22 = 3 — 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 — 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = —1
④ ……
（1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
4．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答。
（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数;
- 1 -
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；
(3)求第n行各数之和． 5．已知:C3
2
32543654334
3，C510,C615，…， 121231234
6
观察上面的计算过程，寻找规律并计算C10 ．
小结：多观察,分析变化与不变化
2、几何变化类
1. (2011广东肇庆，15，3分)如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去,则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．
2. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示)
第1个图形
第 2 个图形 第3个图形
第 18题图
第 4 个图形
3。 （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的,依照此规律，第_____个图形共有120 个。
- 2 -
4、（2011年北京四中中考模拟19）(本小题满分6分）
观察下面的点阵图，探究其中的规律. 摆第1个“小屋子"需要5个点，
摆第2个“小屋子”需要 个点， 摆第3个“小屋子”需要 个点？ (1）、摆第10个这样的“小屋子"需要多少个点？ （2）、写出摆第n个这样的“小屋子”需要的总点数,S与n的关系式.
5.（2011年广东省澄海实验学校模拟）根据图中箭头的指向的规律，从2007到2008再到2009，箭头的方向是以下图示中的( ） 1
0
3
4
7
8
A
B
C
D
2 5
6 9
10 …
小结：观察分析整体与局部，变化与不变化
3、公式变化类
1．(2010广东肇庆)观察下列单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，16a5，…，按此规律第n个单项式是______．（n
是正整数）
2．（2010辽宁丹东市)已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第
二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．
EDC
BA
第15题图
F
G
222,S3，…，S2010,
S2009S1S2
3．（2010 浙江衢州）已知a≠0,S12a,S2
则S2010 (用含a的代数式表示）．
4．（2010 四川泸州）在反比例函数y
10
x0的图象上,有一系列点A1、A2、A3…、An、An1,若x
A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点A1、A2、A3…、An、
- 3 -
An1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图8所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、
S2、S3、Sn,则S1________________,S1+S2+S3+…+Sn_________________。(用n的代数式表示)
等差
1．(2010湖北荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 ．
2．（2010鄂尔多斯）如图,用小棒摆下面的图形，图形（1)需要3 根小棒，图形(2)需要3 根小棒，……照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要 根小棒（用含n的代数式表示）
3．（2010湖北恩施自治州）如图3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点,作为第一层，
第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331， 则n等于 .
4、一列数是1，3，7，13，21，……请问第n个数是（ ）
1．（09深圳 ）观察下列各式：0，x,x2，2x3,3x4，5x5,8x6，……．试按此规律写出的第8个式子是_______. 2．（07年深圳 )邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入数据 输出数据
1
2
3
4
5
6
… …
1
22 73 144 23
- 4 -
5 346 47
那么,当输入数据是7时，输出的数据是 ．
3． 已知a1
112113114
则a99 ． ,a2,a3,...,依据上述规律，
1232323438345415
4．观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是
21＝2，22＝4，23＝8,24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…， A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图6，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是＝______________________。
……
（1) （2） （3） （4） ……
6．（深圳 如图6，AOB45，过OA上到点O的距离分别为13，，5，7，911，，的
点S4
S2
S3
A
作
B
OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为
S1，S2，S3，S4，．观察图中的规律，
求出第10个黑色梯形的面积S10 ．
S1
0 1 3 5 7 9 11 13
图6
7．（08深圳中考）观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中截取的
一部分，其中a+b的值为_____________． 1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9
4 8
… …
20 24 25 b
12 15 a
12 …
12 16 …
… … … … …
表一 表二 表三 课外作业：
8、（2011深圳市中考模拟五)有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长为2、3、4……的等边三角形(如图所示)，
根据图形推断，每个等边三角形所用的等边三角形所用的卡片数S与边长n的关系式是 ．
- 5 -
9、（2004•四川）（规律探究题）某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图，第2次把第1次铺的完全围起来，如图，第3次把第2次铺的完全围起来，如图；…．依此方法,第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块数 _________ ．
10、（2010四川眉山)如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割,得到第二个图(图
②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．
图①
图②
图③
……
11．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1,A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1,A2，A3，…和点C1，C2，C3，…
分别
在直线ykxb(k＞0)和x轴上，
A1
y
A2 B1 C1
A3
B3
B2
已知点B1(1,1)，B2(3，2)，
O
C2
则Bn的坐标是______________．
C3 x
（第16题图）
12．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5,△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4,6,……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1 (2，
O
0)，A2 (1，-1），
A7
y
A8A4A1
A5
A2A6
A3
x
A3 （0，0),则依图中所示规律，A2012的坐标为 ．
13、
如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码(又叫数字）：0，1，2，
- 6 -
3,4,5，6，7，8，9。在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数 。
2、从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12;1+3=4=22;1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52;…按此规律请你猜想从1开始，将前10个奇数(即当最后一个奇数是19时），它们的和是 。
14、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 输出
… …
1
2
3
4
5
5
26
… …
12342 5 10 17
那么，当输入数据是8时，输出的数据是( ）
A、8 B、8 C、8 D、8
61636567
15、如下左图所示，摆第一个“小屋子"要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子"要 枚棋子。
16、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了 块石子。
(1)
(2)
第4题
(3)
17、如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子,被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗。
18、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律:猜想第6个点,第n个图形中有 个点。 19、下面是按照一定规律画出的一列“树型"图：
第7题图
个图形有
- 7 -
经观察可以发现:图(2)比图（1）多出2个“树枝”,图（3）比图(2）多出5个“树枝”，图（4）比图(3）多出10个“树枝”，照此规律,图（7）比图(6)多出 个“树枝”。 20、如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形.例如第(1)个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第(3）个图形的表面积是36个平方单位.依此规律。则第（5）个图形的表面积 个平方单位。
21、如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图⑴中有1个立方体，图⑵中有4个立方体，图⑶中有9个立方体，…… 按这样的规律叠放下去，
第8个图中小立方体个数是 。
⑴ ⑵ ⑶
(1)
(2)
(3)
(4)
22、图1是棱长为a的小正方体,图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解答下列问题：
图1 图2 图3
（1）按照要求填表：
n s
1 1
2 3
3 6
- 8 -
4
… …
（2）写出当n=10时，s= ．
23、观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形,寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见,1个看不见;如图3中:共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见;……,则第6个图中，
看不见的小立方体有 个。
24、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案:
⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n个图案中有白色地面砖 块。
25、分析如下图①，②,④中阴影部分的分布规律,按此规律在图③中画出其中的阴影部分.
26。 （2011四川内江,加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n-1)×n=时，我们可以这样做： (1）观察并猜想：
12+22=（1+0)×1+（1+1)×2=1+0×1+2+1×2=（1+2)+（0×1+1×2） 12+22+32=（1+0)×1+(1+1)×2+（1+2)×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=(1+2+3）+（0×1+1×2+2×3)
12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2)×3+
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ =（1+2+3+4)+（ )
- 9 -
1
n（n+1）(n—1）3
……
（2)归纳结论:
12+22+32+…+n2=（1+0)×1+(1+1）×2+(1+2）×3+…+［1+(n—1）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1）×n
=( ) +［ ][来源：Zxxk。Com]
= + =
1
× 6
（3）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时,正方形网格中正方形的总个数是 ．
【答案】（1+3)×4
4+3×4
0×1+1×2+2×3+3×4
- 10 -
1+2+3+…+n
0×1+1×2+2×3++…+(n-1）×n
1
n(n1) 21
n（n+1)（n—1) 3
参考答案:
1、13 2、100 3、C 4、179 5、 3（n+1）-3+n(n+1）或（n+1)2+2n-1
6、（1）18、22 （2）4n+2 7、27 8、31，n2—n-1 9、80 10、1+3+5+7=42;1+3+5+7+9=52；1+3+5+……+2n—1=n2 11、 4n 12、90 13、C 14、64 15、（1）10 （2）1+2+3+……+n=n(n+1）/2 16、165 17、s=2n+1 18、4n+6 19、16,4n+4
20、125 21、（1）13、18;28、38；（2）5n+3,10n+8 22 、91 23、B 24、B 25、A 26、8n—6 27、（1）18 ；（2）4n+2 29、C 30、C 31、 36 32、A 33、C 35、15 ；2n-1 36、 2n2 37、后面、上面、左面 38、C 39、（1) （1，1），(3，1）,（4，2）,（4，4)；(2）
28、 40、
一个外星人 老人的脸
路灯
两朵鲜花
等式
同性相斥异性相吸
34、
另外的两个略
- 11 -
本文来源：https://www.wddqxz.cn/9e94fd77322b3169a45177232f60ddccda38e63a.html
2022-07-09
