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等腰三角形的性质与判定
【知识梳理】
1．等腰三角形的概念：
有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ．
2．等腰三角形性质定理：
(1)等腰三角形的两个 相等，也可以说成 ．
(2) 三线合一：即 ． (3)等腰三角形是 图形．
3．等腰三角形的判定：
(1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．
【例题讲解】
例1等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例2如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD．求证：△DBC是等腰三角形．
A
D
B
C
例3 如图，AB=AE，BC=ED， ∠B=∠E． 求证：∠C=∠D．
A
B
E
DC
例4如图，AB=AC，BD⊥AC于D． 求证：∠BAC=2∠DBC．
A
D
BC
例5 有关等腰三角形的基本图形．
（1）如图3，若OD平分∠AOB，DE∥OB交OA于E．求证：EO＝ED．提问：这个结论的逆命题是否正确？
（2）如图 3，若 OD平分∠AOB， EO＝ED，求证： DE∥OB． （3）如图 3，若 DE∥OB交OA于E， EO＝ED，求证： OD平分∠AOB． 33
总结：图3是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有帮助的．
有关的题组练习．
（1）如图4，AD∥BC， BD平分
∠ABC．求证： AB＝AD．
（2）已知：如图5（a），AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b），若过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？
(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相应的线段和差关系如何?
推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d）．
推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e）．
（5）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF的周长．
34
【课后巩固】
1．在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则
∠C=__________．
2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰
三角形的底角为_____________．
3． 若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x
17.已知：如图，△ABC中，D在AB上，E在AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于M，MD＝ME，求证：△ABC是等腰三角形． ．求EDC的度数． ADAE
A
11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC
14．如图，ABAC，BAD30，且
都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______
根．
－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．
4． 如图，在△ABC中，AB=AC，A
AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若
∠CAD=25°，则∠ABE= ，
E若BC=6，则CD= ． BDC
5．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D．E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有______个
6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到E，使CE=CA，连接AD．AE，则∠DAE=_______．
A
D
BC
E
8．如下图，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取
NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是 ．
P
Q
M N G
9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC
上的点，•AE=•2cm，•且DE•∥BC，•则
AD=______
10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，
为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些 钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度
的高，它们相交于H，且AE=BE． 求证：AH=2BD． 12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为 向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角 形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°． 求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．
13．如图，点D、E在ABC的边BC上，
ABAC，ADAE． 求证：BDCE
35
15.如图，ABC中，ACB90，CDBA于 D，AE平分BAC交CD于F，交BC于E，
求证：CEF是等腰三角形．
16．RtABC中，ABAC，BAC90，O 为 AB中点，若点M．N分别在线段BMAB．AC上移 动，且在移动过程中保持AN，试判断 OMN的形状，并证明你的结论．
36
D
BC
M
E
18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一
条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数．
本文来源：https://www.wddqxz.cn/9dd950ec5bf5f61fb7360b4c2e3f5727a5e9240e.html
2022-12-18
