全国高中数学竞赛题

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全国高中数学竞赛题

第一试

π2π

1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)

33

2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0,两顶点间的距离为2,试求此双曲线方程．

3．在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住． 4．圆的两条非直径的圆相交,求证：它们不能互相平分． x－y+z=1， ⑴y－z+u=2， ⑵

5．解方程组z－u+v=3， ⑶

u－v+x=4， ⑷v－x+y=5． ⑸



6．解方程：5x2+x－x5x2－1－2=0．

7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．

8．设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C．

9．已知一点P(3,1)及两直线l1：x+2y+3=0,l2：x+2y=7=0,试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程． 10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论．

第二试

1．已知f(x)=x2－6x+5,问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x,y)在平面上的什么范围内？并画图．

2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对,请证明,如果不对,请作一四边形,满足已知条件,但它不是平行四边形．并证明你的作法．

ππ

3．设0<α<,0<β<,证明

22

11+2≥9 ． 2

cosαsinαsin2βcos2β

4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线,如果它把正方形分成两个面积相等的两部分,试证这条曲线的长度不小于1．

n

5．在正整数上定义一个函数f(n)如下：当n为偶数时,f(n)= ,当n为奇数时,f(n)=n+3,

2

1° 证明：对任何一个正整数m,数列a0=m,a1=f(a0),…,an=f(an－1),…中总有一项为1或3． 2° 在全部正整数中,哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上述数列必然出现“1”？ D

CA6．如图,假设两圆O1和O2交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的

弦BD交⊙O1于F,证明 F

E

⑴ 若∠DBA=∠CBA,则DF=CE；

O1O2

⑵ 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA．

7．某区学生若干名参加数学竞赛,每个学生得分都是整数,总分为8250B分,前三名的分数是88、85、80,最低分是30分,得同一分数的学生不超过3人,问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？




全国高中数学竞赛试题解答

第一试

π2π

1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)

33

π2ππ

证明：4 sinθsin(+θ)sin(+θ)=2sinθ[－cos(π＋2θ)＋cos]=2sinθcos2θ＋sinθ

333

=2sinθ(1－2sin2θ)＋sinθ=3sinθ－4sin3θ=sin3θ．

2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0,两顶点间的距离为2,试求此双曲线方程． 解：设双曲线方程为x2－y2=λ,以(1,0)及(0,1)分别代入,得双曲线方程为x2－y2=1． 3．在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住． 解：以BC为直径作⊙O,则⊙O即为所求的最小圆．

首先,BC是△ABC的最长边,对于任意直径小于BC的圆,不可能盖住BC．(若能盖住,则得到圆的弦长大于同圆的直径,这是不可能的)

其次,由于∠A>90,故点A在圆内．即此圆盖住了△ABC．故证． 4．圆的两条非直径的弦相交,求证：它们不能互相平分．

证明：设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M,连OM,则由M是弦AB中点．

∴ OM⊥AB,同理OM⊥CD．于是过点M可能作OM的两条垂线,这是不可能的．故证．

x－y+z=1， ⑴y－z+u=2， ⑵

5．解方程组z－u+v=3， ⑶

u－v+x=4， ⑷v－x+y=5． ⑸

解：五式相加：x＋y＋z＋u＋v=15．

⑴＋⑵：x＋u=3,⑵＋⑶：y＋v=5,z=7；⑶＋⑷：z＋x=7,⑷＋⑸：u＋y=9,v=－1； x=0,y=6,u=3．

即x=0,y=6,z=7,u=3,v=－1．

6．解方程：5x2+x－x5x2－1－2=0． 解：5x2－1≥0,x≥

55或x≤－． 55

101

及x≥1时,5x2－1=1－2x＋x2,2x2＋x－1=0,x=－1,x=． 52

(5x2－1)2－1－x5x2－1＋x=0,(5x2－1－1)(5x2－1＋1－x)=0, 5x2－1=1．x=∴ x=

10

． 5

7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”． 证明：略(见课本)

8．设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C． 112

解：B=60,+=,sin60(sinA＋sinC)=2sinAsinC,

sinAsinCsinB

A－CA－C1

2cos(A－C)－3cos＋1=0,令x=cos,得4x2－3x－1=0,x=1,x=－ (舍)

224

∴ A=B=C=60.

9．已知一点P(3,1)及两直线l1：x+2y+3=0,l2：x+2y=7=0,试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程．

10

解：两直线距离==25,圆心在直线x＋2y－2=0上．

1+22设圆方程为(x－2＋2b)2＋(y－b)2=5,(3－2＋2b)2＋(1－b)2=5,1＋4b＋4b2＋1－2b＋b2=5,


3

5b2＋2b－3=0,b=－1,b=．

5

43

∴ 所求圆方程为(x－4)2＋(y＋1)2=5；(x－)2＋(y－)2=5．

55

10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个

最大？证明你的结论．

解：此正方形有4个顶点,故必有一边在三角形的边上．

设a、b、c边上的高分别为ha、hb、hc,且立于a边上正方形边长为x,

则

ha－xxaha2S

=,aha=(a＋ha)x,x==． haa+haa+ha

2S2S2S

现aha=bhb=2S,a>b,于是a＋ha－(b＋hb)=(a－b)＋(－)=(a－b)(1－)=(a－b)(1－sinC)>0.

abab∴ a＋ha>b＋hb>c＋hc．

∴ 立于c边上的正方形最大．

第二试

1．已知f(x)=x2－6x+5,问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x,y)在平面上的什么范围内？并画图． 解：f(x)+f(y)≤0,x2－6x+5+y2－6y+5≤0,(x－3)2+(y－3)2≤8,表示

y

以(3,3)为圆心,22为半径的圆及圆内部分．

f(x)－f(y)≥0,x2－6x－y2+6y≥0,(x－3)2－(y－3)2≥0,(x+y－6)(x

(3,3)

－y)≥0．

所求图形为阴影部分．

2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”xO对吗？如果对,请证明,如果不对,请作一四边形,满足已知条件,但它不是平行四边形．并证明你的作法．

证明：不对,如图,作△ABD,及过B、A、D三点的弧,以BD为轴作此

弧的对称图形,以D为圆心,AB为半径作弧与所作对称弧有两个不同的交点C、

C'

C,则四边形ABCD、ABCD都是有一组对边相等,一组对角相等的四边形,其中D有一个不是平行四边形．

ππ

3．设0<α<,0<β<,证明

22

11+2≥9 ． 2cosαsinαsin2βcos2β

CB

A

111411

证明：2+2= +2≥2+2 2222cosαsinαsinβcosβcosαsinαsin2βcosαsinα

=tan2α+1+4cot2α+4≥5+24tan2αcot2α=9．

4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线,如果它把正方形分成两个面积相等的两部分,试证这条曲线的长度不小于1．

证明 设M、N是单位正方形周界上两点,曲线MN把正方形的面积两等分． 1 若M、N分别在正方形的对边上(图1),于是曲线MN≥线段MN≥1． 2 若M、N分别在正方形的一组邻边上(图2 )．连对N'N'CD

CDCD

角线AC,则曲线MN必与AC相交(若不相交,则曲线MN全NN

EF部在AC的一边,它不可能平分正方形的面积),设其中一个交PPM

点为P,作曲线 的PN段关于AC的对称曲线PN’,则点M、

AMAMBNBBN’在正方形的一组对边上,而曲线MN’的长度等于曲线MNA

图2图3图1的长度．于是化归为情形1．

3若M、N分别在正方形的一条边AB上(图3)．连对边AD、BC的中点EF,则曲线MN必与EF相交(理由同上),设其中一个交点为P,作曲线 的PN段关于EF的对称曲线PN’,则点M、N’在正方形的一组对边上,


而曲线MN’的长度等于曲线MN的长度．于是化归为情形1．

综上可知,命题成立．

n

5．在正整数上定义一个函数f(n)如下：当n为偶数时,f(n)= ,当n为奇数时,f(n)=n+3,

2

1° 证明：对任何一个正整数m,数列a0=m,a1=f(a0),…,an=f(an－1),…中总有一项为1或3． 2° 在全部正整数中,哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上述数列必然出现“1”？ anan+3证明：1°,当an>3时,若an为偶数,则an+1=<an,若an为奇数,则an+2=<an,

22

即于是在{an}中可以找出一个单调递减的子序列,由于该序列的每项都是正整数,故进行到某一项时序列

的项≤10,此时

|an时,出现如下的项： 当an=3,6,9时,出现如下的项：9→12→6→3→6→3→…；当an≤10且3＼

7→10→5→8→4→2→1；

总之,该数列中必出现1或3．

m

2° 当m为3的倍数时,若m为偶数,仍为3的倍数；若m为奇时,m+3是3的倍数,总之an对于一切n

2m

∈N*,都是3的倍数,于是,上述数列中必出现3,当m不是3的倍数时,(若m为偶数)与m+3(若m为奇数)都不

2能是3的倍数,于是an不是3的倍数,故an≠3,此时数列中必出现1．

6．如图,假设两圆O1和O2交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,证明 ⑴ 若∠DBA=∠CBA,则DF=CE； ⑵ 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA． D

AC证明：连AC、AD、AE、AF,由ADBE是圆内接四边形,得∠AEC=∠D,

同理∠C=∠AFD．从而∠DAF=∠CAF． F

E

⑴ 若∠DBA=∠CBA,则AD=AE,AF=AC,(同圆内,圆周角等,所对弦等)

O1O2

于是,△ADF≌△AEC,DF=CE．

⑵ 若DF=CE,则△ADF≌△AEC,AD=AE,∠DBA=∠CAF． B7．某区学生若干名参加数学竞赛,每个学生得分都是整数,总分为8250

分,前三名的分数是88、85、80,最低分是30分,得同一分数的学生不超过3人,问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？

解：8250－(88+85+80)=7997．(30+31+32+…+79)×3=50×109÷2×3=8175．即从30到79分每个分数都有3人得到时,共有8175分, 此时及格学生数为20×3+3=63人．

8175－7997=178．若减少3名及格的学生至少减去180分．故至多减去2名及格的学生． ∴ 至少63－2=61人及格．

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