中考数学最后一题详解

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在平面直角坐标系中，二次函数yx22x3的图象与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E. 点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行. 一次函数y=－x＋m的图象过点C，交y轴于D点. （1）求点C、点F的坐标；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行

y

四边形，求点N的坐标.





解：（1）由题意得，A（－3，0），B（1，0） C（5，0） ……………………1分 F（3，0） …………………………2分

（2）由题意得，05m，解得m=5 CD的解析式是yx5

5

4321

-5-4-3-2-1O

-1

-2-3-4-5

12

3

45

x

设K点的坐标是（t，0），则H点的坐标是（t，-t+5）,G点的坐标是（t， t2t3） K是线段AB上一动点，3t1

HG=（-t+5）-（t2t3）=t3t8=(t)2 3

2

2

2

3

241

………..3分 4

3

1， 2


当t=

341时，线段HG的长度有最大值是 ………………….4分 24

（3）AC=8 ………………………5

直线l过点F且与y轴平行，

直线l的解析式是x=3. 点M在l上，点N在抛物线上

设点M的坐标是（3，m），点N的坐标是（n，n22n3）.

（ⅰ）若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边，则须MN∥AC，

MN=AC=8

（Ⅰ）当点N在点M的左侧时，MN=3-n 3-n=8，解得n=-5

N点的坐标是（-5，12）…………………6分 （Ⅱ）当点N在点M的右侧时，NM=n-3 n-3=8，解得n=11

N点坐标是（11，140） …………………..7分

（ⅱ）若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线，由题意可

知，点M与点N关于点B中心对称. 取点F关于点B的对称点P，则P点坐标是（-1，0）.过点P作NP⊥x轴，交抛物线与点N. 过点N、B作直线NB交直线l于点M. ∠NBP=∠MBF,BF=BP,∠BPN=∠BFM=90° △BPN≌△BFM. NB=MB 四边形ANCM是平行四边形.

N点坐标是（-1，-4）………………………………….8分 符合条件的N点坐标有（-5，12），（11，140），（-1，-4），

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