经典均值不等式练习题

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均值不等式

均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。

a2b21. (1)若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab

2

2

2

（当且仅当

ab

时取“=”）

2. (1)若a,bR，则

时取“=”）

*

ab

ab 2

2

(2)若a,bR，则ab

*

2ab

（当且仅当

ab

ab (当且仅当ab时取“=”

(3)若a,bR，则ab） 

2

*

ab

ab3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则

112ab

2

a2b2

，当且仅当ab2

时等号成立。

（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）



一、 基本技巧



技巧1：凑项

例 已知x



技巧2：分离配凑



51的最大值。 ，求函数y4x244x5

x27x10

(x1)的值域。 例 求y

x1








技巧3：利用函数单调性

例 求函数

y

x25x4

2

的值域。



技巧4：整体代换

例 已知x0,y0，且



19

1，求xy的最小值。 xy



典型例题

1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是

ab2

2. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值

cd

是( )

A.0 B.1 C.2 D. 4

2

3. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围为( ) A.0, B.4, C.5, D.4,4

4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是

a

b

( ) A.1

B.5 C.4

2

D.3+2

2



5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 . 6. 已知x,yR，且满足

xy

1，则xy的最大值为 . 34

a

b

11

的最小值为( ) ab1

A 8 B 4 C 1 D

4

7. 设a0,b0.若3是3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 ( )

A.

2428 B. C.5 D.6 55

9. 若a0,b0,ab2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①ab1； ②

ab2； ③ a2b22； ④a3b33；

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