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高中数学向量专题
【基础知识精讲】
1.向量的定义
既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. AB表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用a、b、c注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).
2.向量的模
所谓向量AB的大小，就是向量AB的长度(或称模)，记作｜AB｜或者｜a｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量. 4.平行向量、共线向量
方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量.
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量.
5.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
【重点难点解析】
通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.
例1 判断下列各命题是否正确
(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.
1
(3)若a=b,b=c,则a=c (4)两向量a、b相等的充要条件是
(5)｜a｜=｜b｜是向量a=b的必要不充分条件. (6) AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合.
解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确.∵AB=DC,∴｜AB｜=｜DC｜且AB∥DC. 又A、B、C、D是不共线的四点.
∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则AB∥DC，且AB与DC方向相同，因此AB=DC.
(3)正确.∵a=b
∴a，b的长度相等且方向相同； 又∵b=c
∴b，c的长度相等且方向相同.
∴a，c的长度相等且方向相同，故a =c
(4)不正确.当a∥b,但方向相反，即使｜a｜=｜b｜，也不能得到a=b，故
不是a=b的充要条件. (5)正确.这是因为| a || b |是a =b的必要不充分条件.
(6)不正确.这是因为AB=CD时，应有：｜AB｜=｜CD｜及由A到B与由C到D的
a=b,但a=b｜a｜=｜b｜,所以｜a｜=｜b｜
2
方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合.
例2 如图所示，△ABC中，三边长｜AB｜、｜BC｜、｜AC｜均不相等，E、F、D是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与EF共线的向量. (2)写出与EF的模大小相等的向量. (3)写出与EF相等的向量.
解：(1)∵E、F分别是AC，AB的中点 ∴EF∥BC
从而，与EF共线的向量，包括：
FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.
(2)∵E、F、D分别是AC、AB、BC的中点 ∴EF=
12
BC,BD=DC=
12
BC.
又∵AB、BC、AC均不相等
从而，与EF的模大小相等的向量是：FE、BD、DB、DC、CD (3)与EF相等的向量，包括：DB、CD.
例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行. (5)非零向量的单位向量是±
a.
a
解：(1)假命题，还可以方向相反；
(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关；
(4)假命题，因为若a,b方向相同，但只要｜a｜≠｜b｜，则a≠b.
3
(5)真命题，任一非零向量：a的单位向量为±
aa
.
例4 如图，已知：四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又AB=DC.
求证：CN=MA， 证明：∵AB=DC
∴｜AB｜=｜DC｜，且AB∥DC.从而，四边形ABCD是平行四边形. ∴AD∥BC，AD=BC
∵N、M分别是AD、BC的中点. ∴AN=
12
AD,MC=
12
BC.
∴AN=MC. 又AN∥MC，
∴四边形AMCN是平行四边形.于是得：AM∥NC，｜AM｜=｜NC｜. 又由图可知：CN与MA的方向一致. ∴CN=MA
【命题趋势分析】
本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.
【典型热点考题】
例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3 分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所以(3)也是假命题.
∴选A.
例2 如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
4
(1)与向量AB相等的向量有 ；(2)若｜AB｜=3，则向量EC的模等于 .
分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得ED=AB且DC=AB，所以ED=DC.于是E、D、C三点共线，故｜EC｜=｜ED｜+｜
DC｜=2｜AB｜=6.
答：(1) ED，DC；(2)6 例3 下列命题中，正确的是( ) A.｜a｜=｜b｜a=b C. a=b｜a｜∥｜b｜
B.｜a｜＞｜b｜a＞b D.｜a｜=0a=0
解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.
∴应排除D，∴应选C.
例4 下列四个命题：①若｜a｜=0,则a=0；②若｜a｜=｜b｜,则a=b或a=-b；③若a与b是平行向量，则｜a｜=｜b｜；④若a=0，则-a=0正确命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：①是忽略了0与0不同，由于｜a｜=0a=0,但0不能写成0；
②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；
③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；
④正确，故选A. 本周强化练习： 【同步达纲练习】
一、选择题
1.下列命题中的假命题是( )
A.向量AB与BA的长度相等
B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C.只有零向量的模等于0
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/9d753eeb4328915f804d2b160b4e767f5acf8028.html
2022-10-09
