奥数乘法公式

2022-04-15 03:40:12   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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初中数学竞赛辅导资料15乘法公式

1 乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用

公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2 基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式:(a±b)2

=a2

±2ab+b2

, 平方差公式:a+b(ab)=a2b2

立方和(差)公式:(a±b)(a2

ab+b2

)=a3

±b3

3.公式的推广:

多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2

+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 二项式定理:(a±b)3

=a3

±3a2

b+3ab2

±b3



(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4

a±b5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b35ab4±b5 „„„„

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式

a+b(a3a2b+ab2b3)=a4b4

(a+b)(a4

a3

b+a2b2

ab3

+b4

)=a5

+b

5

(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6



„„„„

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数 (a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2-„+ab2n2b2n1)=a2nb2n (a+b)(a2na2n1b+a2n2b2-„-ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地:

ab(an1+an2b+an3b2+„+abn2+bn1)=anbn

4. 公式的变形及其逆运算

由(a+b2=a2+2ab+b2 a2+b2=(a+b)22ab

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) a3+b3=(a+b)3

3ab(a+b) 由公式的推广③可知:当n为正整数时 anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除, a2nb2n能被a+bab整除。 乙例题

1. 己知x+y=a xy=b x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5 解: x2

+y2

(x+y)2

2xya2

2b

x3+y3(x+y)33xyx+y)=a33ab

x4

+y4

(x+y)4

4xyx2

+y2

)-6x2y2

a4

4a2

b2b

2

x5+y5=(x+y(x4x3y+x2y2xy3+y4)

=(x+y)x4+y4xy(x2+y2)+x2y2 =aa44a2b+2b2b(a22b)+b2 a55a3b+5ab2

2. 求证:四个連续整数的积加上1的和,一定是整数的平方。 证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)

文学资料

1


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a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a+3a)(a+3a+2)+1

22222

=(a+3a)+2(a+3a)+1=(a+3a+1) a是整数,整数的和、差、积、商也是整数 a2+3a+1是整数 证毕

3. 求证:23能被7整除

证明:22223111=(22111311141113111 根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4 4

111

222

111

22

3

111

能被 43整除

2

2

22223111能被7整除

4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解:∵(10a+5)=100a+2×10a×5+25=100a(a+1)+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是:幂的末两位数字是底数个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。 如:15=225 幂的百位上的数字2=1×2) 25=625 (6=2×3)

352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)

„„

丙练习15 1 填空:

a2+b2=(a+b)2_____ (a+b)2=(ab)2+___ a+b=(a+b)3ab(___) a+b=(a+b)____

5544552233

,a+b=(a+b)(a+b)_____ a+b=(a+b)(a+b)____ 2 填空:

(x+y)(___________)=x4y4 (xy)(__________)=x4y4

(x+y)( ___________)=x5+y5 ④(xy(__________)=x5y5 3.计算:

552= 652= 752= 852= 952= 4. 计算下列各题 ,你发现什么规律

11×19= 22×28= 34×36= 43×47= 76×74= 5..已知x+

1x

3

3

3

4

4

2

22

2

2

=3, 求①x2+

1x

2

x3+

1x

3

x4+

1x

4

的值



6.化简:①(a+b2(ab)2

(a+b)(a2ab+b2)

(ab)((a+b)32ab(a2b2)

(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)

7.己知a+b=1, 求证:a3+b33ab=1 8.己知a2=a+1,求代数式a55a+2的值

9.求证:21能被9整除

10.求证:两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方

11.如图三个小圆圆心都在大圆的直径上,它们 的直径分别是a,b,c

求证:三个小圆周长的和等于大圆的周长

求:大圆面积减去三个小圆面积和的差。

文学资料

2

33

a

bc


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文学资料 3


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