奥数乘法公式

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初中数学竞赛辅导资料（15）乘法公式

1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2

=a2

±2ab+b2

, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2

立方和（差）公式：(a±b)(a2

ab+b2

)=a3

±b3

3.公式的推广：

① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2

+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 ② 二项式定理：(a±b)3

=a3

±3a2

b+3ab2

±b3



(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） „„„„

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4

(a+b)(a4

－a3

b+a2b2

－ab3

+b4

)=a5

+b

5

(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6



„„„„

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 (a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－„＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n (a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－„－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：

（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+„＋abn－2+bn－1)=an－bn

4. 公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3

－3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 an－bn能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除, a2n－b2n能被a+b及a－b整除。 乙例题

例1. 己知x+y=a xy=b 求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5 解： ①x2

+y2

＝(x+y)2

－2xy＝a2

－2b

②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab

③x4

+y4

＝(x+y)4

－4xy（x2

+y2

）－6x2y2

＝a4

－4a2

b＋2b

2

④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)

=(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］ =a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］ ＝a5－5a3b+5ab2

例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)

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1


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a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a+3a)(a+3a+2)+1

22222

=(a+3a)+2(a+3a)+1=(a+3a+1) ∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数 ∴a2+3a+1是整数 证毕

例3. 求证：2＋3能被7整除

证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111 根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4） ∴4

111

222

111

22

＋3

111

能被 4＋3整除

2

2

∴2222＋3111能被7整除

例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)=100a+2×10a×5+25=100a(a+1)+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。 如：15=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 25=625 (6=2×3)，

352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)

„„

丙练习15 1． 填空：

①a2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b)2+___ ③a+b=(a+b)－3ab(___) ④a+b=(a+b)－____

5544552233

,⑤a+b=(a+b)(a+b)－_____ ⑥a+b=(a+b)(a+b)－____ 2． 填空：

①(x+y)(___________)=x4－y4 ②(x－y)(__________)=x4－y4

③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④（x－y）(__________)=x5－y5 3.计算：

①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律

⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74= 5..已知x+

1x

3

3

3

4

4

2

22

2

2

=3, 求①x2+

1x

2

②x3+

1x

3

③x4+

1x

4

的值



6.化简：①（a+b）2(a－b)2

②(a+b)(a2－ab+b2)

③(a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2)

④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)

7.己知a+b=1, 求证：a3+b3－3ab=1 8.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值

9.求证：2＋1能被9整除

10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方

11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们 的直径分别是a,b,c

① 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长

② 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。

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2

33

a

bc


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