方差的统计学意义

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方差的统计学意义

总之，语言描述:方差是观察样本的离散程度。

举个例子：样本a是10、10、10、10、10；样本b是-10、0、10、20、30。a和b的均值都是10，但显然b的样本点离散程度更大一些。

如何来用统计量描述这种离散程度呢？很直观可以想到：那就把每一个样本点与均值点的“距离”统计在一起看一看就清楚了。

最先想到的距离就是直接做差（暂时仅讨论一维情况），但会有正负号相抵消的问题——试想上边样本a和b，每个样本点与均值做差并对差值求和后都是0，并无法区分分散程度。 鉴于此，很直接想到一个改良版本，即对差的绝对值求和，即统计量“平均差”。但平均差仍有一些问题，最关键的是没有过于偏离的点以足够多的“关注”。举例子：给定样本c为-20、10、10、10、40。将样本c与样本b比较，二者均值相等、平均差相等，但直观感受上来讲，样本c离散更严重些（想像成分数的话就是c的发挥更加不稳定），因为有两个明显“跑到远处去”的点。所以为了给明显跑偏的点以更大的“关注”，就使用二次函数加大这个惩罚值，于是方差便诞生了。当然，为了与样本点及其均值在量纲上可比，通常会再开方得到标准差。

此外，方差还有一些额外的优点，比如二次函数可以自然地解决符号偏移的问题，可以在高维数据中计算距离，计算方便。另外，从统计学上讲，可以证明最小化方差可以找到概率最大的无偏估计。综上所述，方差已经成为描述样本离散程度最常用的统计量。

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