球的体积公式的推导方法

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球的体积公式的推导方法

周明

【摘 要】球的体积公式在球的表面积、圆心、球的质量计算等方面都有很大的作用,为此,利用祖暅原理、数列极限、旋转体的体积公式、平面极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换等六种方法对球的体积公式进行推导. 【期刊名称】《西昌学院学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2014(028)002 【总页数】2页(P26-27) 【关键词】球;体积;公式;方法 【作 者】周明

【作者单位】亳州师范高等专科学校,安徽亳州236800 【正文语种】中 文 【中图分类】O182

以坐标原点为球心，半径为的球体，其体积公式为

而球的体积公式在球的表面积、圆心、球的质量计算等方面都有很大的作用，但对球的体积公式推导方法常不被人们重视，为此，本文主要利用祖暅原理、数列极限、旋转体的体积公式、平面极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换六种方法对球的体积公式进行推导。

祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等[1]。


将底面半径和高都是的圆柱体，挖去一个底面半径和高都是的圆锥体所得到的几何体与球体的上半球放在坐标平面上，用平面去截，可得 所以 于是得

将球体的上半球进行n等分，即用平行于坐标平面的等距平行平面，把半球切割成n层，每一层都是近似于小圆柱体，这n个小圆柱体的体积之和就是半球的体积。

设ri为第i个小圆柱体的底面半径（从下向上数），因为每个小圆柱体的高都是 所以有 所以 即 所以 即

定理由连续曲线直线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积公式[2]

球体的右半球可以看作是由曲线直线所围成的扇形绕轴旋转而成的。 所以由旋转体的体积公式可知，球的体积为 球体的上半球的方程是

而球体在坐标平面上的投影区域为 所以球的体积为 作平面极坐标变换

则区域应变为区域又因为所以球的体积 作柱面坐标变换[4]87

则球体在柱面坐标系下的方程是


因为其上半球在z轴上的投影区域为所以上半球在柱面坐标系下的区域为 又因为所以球的体积是 作球面坐标变换[4]

则球体在球面坐标系下的方程是 所以球在球面坐标系下的区域为 又因为所以球的体积是

总之，本文主要介绍了六种球的体积的推导方法，以便起到抛砖引玉之作用，寻找更多的推导方法。

注释及[1]商世平.试论刘徽对“祖暅原理”的认识[J].河北师范大学学报：（自然科学版），1987（2）：204-208.

[2]张圣勤.史历.高等数学[M].上海：复旦大学出版社，2006：216-217. [3]纪永强.空间解析几何[M].北京：高等教育出版社，2013：275. [4]吕林根.许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2006.

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