江西省宜春市高安中学2020_2021学年高二数学下学期期中试题理

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江西省宜春市高安中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理

一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）

1.直角坐标系中点P(1,3)，在极坐标系中的坐标为（ ）

A．(4,



3) B．(2,3) C．(4,3

) D．(2,

3)

2.若直线

x1t

（t为参数）与直线ykx1平行，则常数k=（ ） y23t

A．3 B．11

3 C．3

D.3

3.已知双曲线C:x2y25a2b2

1

的离心率e4，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为（ ） ．x2x2y4y2

A31 B．x29y2216

1 C．x2y21691 D．341

4.函数fx

2lnx

x

的图像大致是（ ） A． B．

C． D．

5.若x21

(4x1)8a20a1(2x1)a2(2x1)

a10(2x1)10，则a0a1a2

a10等于

（ ）

A．2 B．1 C．54

D．1

6.抛物线y2

2px(p0)的焦点F到双曲线x2y21的渐近线的距离为22

，则p（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1



7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（ ）. A．48 B．72 C．54 D．36

8.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则PNM

等于（ ） A．

2 B5

1

3．9

C．

2

D．13

.在平面直角坐标系xoy中，已知直线l:yk(x1)与曲线C:xt2

9(t为参数)恰有两个不同的交点，

yt

则实数k的取值范围为（ ）

A.(0,12) B．(1

2,0) C．2,1 D.(0,1) 3

10.2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北，某地有3名医生、6名护

士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（ ）

A．16

B．1112 C．8 D．3 .直线ykx1被椭圆C:x2

115y21截得最长的弦为（ ）

A. 3 B.5

2

C. 2 D.5

12.已知e为自然对数的底数，a,b为实数，且不等式lnx(3ea)xb10对任意x0,恒

成立，则当

b3

a

取最大值时，实数a的值为（ ） A. 3e B.3e1 C.4e D.4e1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数yxex的图象在点(0,f(0))处的切线方程为_____________．

14.已知随机变量服从正态分布N3,2



，P60.84，则P0____________

15.(x211

x

)5(2x

x

2)的展开式中含x2项的系数为___________ 16.已知圆O:x2y29与x轴交于点A、B，过圆上动点M(M不与A、B重合)作圆O的切线l，过点A、B分别作x轴的垂线，与切线l分别交于点C,D,直线CB与AD交于点Q，Q关于M的对称点为P， 则点P的轨迹方程___________



三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)

已知直线l经过点P1，1

，倾斜角

2

=

4

，圆C的极坐标方程为=2sin



4.




(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标下的普通方程； (2)设l与圆C相交于A,B两点，求点P到A,B两点的距离之积PAPB．



18.(本小题满分12分)

在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐之外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用。但一个优秀的小视频除要有很好的素材与拍摄成品外，更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平，将所制作的某小视频分享到自己的朋友圈里，并请朋友圈里的朋友按照自己的审美给予评价。通过收集100位朋友（男、女各前50位）的评价，得到22列联表如下：



（1）能否有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关？

（2）将频率视为概率，从参与评价50位男性朋友中抽取10人，记评价优秀的人数为X，

求X的数学期望和方差。附：Kn(adbc)22

(ab)(cd)(ac)(bd)

,nabcd





19.(本小题满分12分)

如图所示的几何体中，ABCD是菱形，ABC60，PA平面ABCD，AP//BF//DE，APAB2BF2DE4. （1）求证：平面PAC平面PCE； （2）求二面角BPCE的正弦值.

20.(本小题满分12分)

据悉从2021年起，江西省将进行新高考改革，在选科方式、试卷形式、考查方法等方面都有很大的变化。在数学学科中，变化如下：新高考不再分文理科数学，而是采用一套试题测评；新高考增加了多选题，给各种层次的学生更大的发挥空间；新高考引入开放性试题，能有效地考查学生建构数学问题、分

析问题、解决问题的能力。已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，漏选得3分，有错误选项的或不选的得0分，每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项．为

了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组通过研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为1

2

,

正确答案是“选三项”的概率为1

2

，现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，

只能靠猜．

（1）若学生甲乱猜某多选题答案，在已知该题正确答案是“选两项”的条件下，求他不得0分的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，分别求出甲和乙答一道多选题得分的期望，看看谁的策略得分更高？

21.(本小题满分12分)

已知椭圆C:x2y22

a2b21(ab0)的两焦点是F1,F2,点P2,2在椭圆C上,且

PF1PF24， （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆C上点Ax0,y0

x0y00的直线l与x，y轴的交点分别为M,N且AN2MA.若

A,C关于原点对称，B,D关于原点对称，且BDNM，求四边形ABCD

面积的最大值.

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)ln(x3)x. （1）求函数f(x)的最大值；

（2）若关于x的方程aex

ln

a

x3

3a0有两个不等实数根x1,x2， 证明：ex

1e

x2



2a

.



江西省高安中学2020-2021学年下学期期中考试

高二年级数学（理）试题参考答案

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）


题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

D

A

C

A

B

C

B

B

A

D

B

C

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

2

13.yx 14. 0.16 15.10 16.x94y2

81

1(y0) 三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）



x1tcosx1217.解：（1）直线l的参数方程为24(t为参数)，即22t（为参数） 2分

t

y1tsin4

y122t

由=2sin

4，得cossin，所以

2cossin， 4分

得x2y2xy，即(x1

)2(y12

1

22)

2

． 5分 2

（2）把x1

22t

（t

为参数）代入y2

(x12)2(y12)212，得t222t140， 8分



12

t∴PAPBtt1

124

． 10分

18.解：(1)由22列联表可知，K100(35232715)22

62385050

2.7163.841，

所以没有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关. 5分 (2)由表中数据，男性朋友对该小视频评价优秀的比率为

35

50

0.7， 因此男性朋友对该小视频评价恰好优秀的概率的估计值为0.7.

由题意得X

B(10,

710)，所以随机变量X的期望E(X)107

107， D(X)107321

101010

12分



19.（1）证明：取PC中点M，连结BD，设BD交AC于O，连结OM，EM， 在菱形ABCD中，ODAC，

∵PA平面ABCD，OD平面ABCD，∴ODPA，

又PAACA，PA，AC平面PAC，∴OD平面PAC， ∵O，M分别是AC，PC的中点，∴OM//PA，OM

1

2

PA， 又DE//PA，DE1

2

PA，∴OM//DE，且OMDE，

∴四边形OMED是平行四边形，则OD//EM，∴EM平面PAC， 又EM平面PCE，∴平面PAC平面PCE.

（2）由（1）中证明知，OM平面ABCD，则OB，OC，OM两两垂直，以OB，OC，OM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由PAAB2BF2DE4及ABCD是菱形，

ABC60得，AC4，BD43，则B23,0,0

，C(0,2,0)，P(0,2,4)，E23,0,2

，PC(0,4,4)，PB2

3,2,4

，PE23,2,2

，

设平面PBC的一个法向量为m(a,b,c)，则

mPB0，即2b4c0

mPC0



23ab4c0

，

4取a1，求得bc3，所以m1,3,3

， 同理，可求得平面PCE的一个法向量为n(0,2,2)， 设平面PBC与平面PCE构成的二面角的平面角为，则

|cos||cosm,n|

|mn|4342

|m||n|722

7，又0,，sin0， ∴sin1cos277

7，∴平面PBC与平面PCE构成的二面角的正弦值为7.

20.解：（1）分两类：乱猜一个选项得3分，乱猜两个选项得5分．

2

①猜一个选项得3分的概率为1

2； 2分②猜两个选项得5分的概率为C2C2

1， 4分 46

故学生甲不得0分的概率P112

263

； 5分 （2）设甲、乙两人的得分分别为X，Y，两人的得分期望分别为EX，EY，

学生甲：PX312121234511113

8，PX022248

，

学生甲的得分X的分布列为

故EX

15

8

． 8分 学生乙：1C22

PY323C21，PY51C212

2

，PY0， 442C412

3

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